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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Vollständig differenzierbar
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Vollständig differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Fr 07.06.2013
Autor: Helicase

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x,y) = [mm] \wurzel{x^{4} + y^{4}}. [/mm]

a) Existieren die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] im Nullpunkt?
b) Ist f im Nullpunkt vollständig differenzierbar?

Hallo Forum,

meine Rechnung zu a):

Definition partielle Ableitung: [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(a + te_{i}) - f(a)}{t} [/mm]

[mm] f_{x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{{f(\vektor{0 \\ 0}} + t*\vektor{1 \\ 0}) - f(\vektor{0 \\ 0})}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f\vektor{t \\ 0}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{t^{4}}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] t = 0

analog für [mm] f_{y} [/mm] (0,0)

also [mm] f_{x} [/mm] (0,0) = [mm] f_{y} [/mm] (0,0) = 0.

b)

Ich nehme an vollständig differenzierbar bedeutet total differenzierbar:

[mm] \limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)*\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}}{||h||} [/mm] = [mm] \limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} [/mm]

Jetzt steh ich auf dem Schlauch, wie kann ich das vereinfachen bzw. ist das überhaupt richtig soweit ?

Danke.

Gruß Helicase

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Sa 08.06.2013
Autor: fred97


> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x,y) = [mm]\wurzel{x^{4} + y^{4}}.[/mm]
>  
> a) Existieren die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] im
> Nullpunkt?
>  b) Ist f im Nullpunkt vollständig differenzierbar?
>  Hallo Forum,
>
> meine Rechnung zu a):
>  
> Definition partielle Ableitung: [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(a + te_{i}) - f(a)}{t}[/mm]
>  
> [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{{f(\vektor{0 \\ 0}} + t*\vektor{1 \\ 0}) - f(\vektor{0 \\ 0})}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f\vektor{t \\ 0}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{t^{4}}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}[/mm] t = 0
>  
> analog für [mm]f_{y}[/mm] (0,0)
>
> also [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = [mm]f_{y}[/mm] (0,0) = 0.

O.K.


>
> b)
>
> Ich nehme an vollständig differenzierbar bedeutet total
> differenzierbar:

Ja


>
> [mm]\limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)*\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}}{||h||}[/mm]
> = [mm]\limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}[/mm]


Überlege Dir dass

[mm] \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} \le \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}} [/mm]

gilt

FRED

>  
> Jetzt steh ich auf dem Schlauch, wie kann ich das
> vereinfachen bzw. ist das überhaupt richtig soweit ?
>
> Danke.
>
> Gruß Helicase
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Vollständig differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 So 09.06.2013
Autor: Helicase

[mm] \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}} [/mm] ist ja wieder die Norm, also ||h||.
Für [mm] (h_{1},h_{2}) [/mm] geht die Wurzel somit gegen Null.
Also hab ich eine Abschätzung nach.
Bräuchte ich jetzt nicht eine nach unten, um mit dem Einschließungskriterium zu schlussfolgern, dass mein eigentlicher Grenzwert Null ist?

Bezug
                        
Bezug
Vollständig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 So 09.06.2013
Autor: fred97


> [mm]\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}[/mm] ist ja wieder die Norm, also
> ||h||.
> Für [mm](h_{1},h_{2})[/mm] geht die Wurzel somit gegen Null.
> Also hab ich eine Abschätzung nach.
> Bräuchte ich jetzt nicht eine nach unten, um mit dem
> Einschließungskriterium zu schlussfolgern, dass mein
> eigentlicher Grenzwert Null ist?  


Du hast doch

0 [mm] \le [/mm]  $  [mm] \bruch{|f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)\cdot{}\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}|}{||h||} [/mm] $
= [mm] $\bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} [/mm] $ [mm] \le \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}} [/mm]

FRED


Bezug
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