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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 So 02.10.2016
Autor: cey112

Aufgabe
Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] x_n = (\bruch{1}{3})^n, n \in \IN_{0} [/mm] für [mm] x_n=\bruch{16}{3}x_{n-1}-\bruch{5}{3}x_{n-2}, n \ge 2 [/mm] mit [mm] x_0=1 [/mm] und  [mm] x_1=\bruch{1}{3} [/mm] gilt.

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.

Die einzelnen Schritte der vollständigen Induktion sind mir klar, aber irgendwie komme ich ab dem Induktionsschritt nicht weiter. Ich schreibe mal auf, bis wohin ich es hinbekommen habe:

1. Induktionsanfang: Man zeigt die Behauptung für n = 1 bzw. n = 0
Für [mm] n=0 [/mm] ergibt sich [mm] (\bruch{1}{3})^{0}=0 =x_0[/mm] und für [mm] n=1[/mm]  ergibt sich [mm] (\bruch{1}{3})^{1}=\bruch{1}{3} = x_1[/mm]
War's das schon? Bin mir nicht sicher.

2. Induktionsschritt: Man zeigt die Aussage für [mm]n+1[/mm]
So, hier habe ich Schwierigkeiten. Ich muss zeigen, dass [mm]x_{n+1}=(\bruch{1}{3})^{n+1} [/mm] unter der Voraussetzung, dass [mm] x_n = (\bruch{1}{3})^n [/mm] für ein [mm] n [/mm] bereits bewiesen wurde, also

[mm]x_{n+1}=(\bruch{1}{3})^{n+1} + [/mm] ??? . Hier weiß ich nicht weiter.

Bin über jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 So 02.10.2016
Autor: HJKweseleit


> Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm]x_n = (\bruch{1}{3})^n, n \in \IN_{0} [/mm]
> für [mm]x_n=\bruch{16}{3}x_{n-1}-\bruch{5}{3}x_{n-2}, n \ge 2[/mm]
> mit [mm]x_0=1[/mm] und  [mm]x_1=\bruch{1}{3}[/mm] gilt.
>  Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe
> helfen.
>  
> Die einzelnen Schritte der vollständigen Induktion sind
> mir klar, aber irgendwie komme ich ab dem Induktionsschritt
> nicht weiter. Ich schreibe mal auf, bis wohin ich es
> hinbekommen habe:
>  
> 1. Induktionsanfang: Man zeigt die Behauptung für n = 1
> bzw. n = 0
>  Für [mm]n=0[/mm] ergibt sich [mm] (\bruch{1}{3})^{0}=0 =x_0 [/mm]

[notok] Jede Zahl hoch 0 ist 1, selbst [mm] 0^0 [/mm] !  Und [mm] x_0 [/mm] soll ja auch 1 sein.


>  und für
> [mm]n=1[/mm]  ergibt sich [mm](\bruch{1}{3})^{1}=\bruch{1}{3} = x_1[/mm]
>  
> War's das schon? Bin mir nicht sicher.

Ja, der Induktionsanfang ist meistens ganz einfach, aber auch wichtig!

>  
> 2. Induktionsschritt: Man zeigt die Aussage für [mm]n+1[/mm]
>  So, hier habe ich Schwierigkeiten. Ich muss zeigen, dass
> [mm]x_{n+1}=(\bruch{1}{3})^{n+1}[/mm] unter der Voraussetzung, dass
> [mm]x_n = (\bruch{1}{3})^n[/mm] für ein [mm]n[/mm] bereits bewiesen wurde,
> also
>  
> [mm]x_{n+1}=(\bruch{1}{3})^{n+1} +[/mm] ??? .


Ja. Du darfst aber auch benutzen, dass für n-1 gilt:

[mm]x_{n-1} = (\bruch{1}{3})^{n-1}[/mm] für dasselbe n.

Wenn du weißt, dass es z.B. bis n=7 gilt, kannst du es für n+1=8 beweisen, indem du auf n=7 und n-1=6 zurückgreifst.

Bei der Vollst. Ind. geht man im Induktionsschritt davon aus, dass die Eigenschaft von einem [mm] n_0 [/mm] aus bis zu einem [mm] n_1 [/mm] gilt. Dann führt man den Induktionsschritt für [mm] n_1+1 [/mm] durch und darf dabei auf alle Glieder von [mm] n_0 [/mm] bis [mm] n_1 [/mm] zurückgreifen - falls nötig.

Weil die Rekursionsformel 2 Vorgänger enthält, musst du auf beide zurückgreifen. Deshalb mussten auch [mm] x_0 [/mm] UND [mm] x_1 [/mm] vorgegeben werden, weil der Beweis für n=2 auf beide zurückgreift.



Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 02.10.2016
Autor: cey112

Ups, an der ersten Stelle habe ich mich vertan. Ich weiß schon das eine beliebige Zahl hoch 0 gleich 1 ist :)

Deine Erklärung mit dem Induktionsschritt kann ich nachvollziehen, weiß aber dennoch nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen muss :(

Mir ist hier nicht klar, wie ich die Rekursionsformel in den Induktionsschritt integrieren soll

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 02.10.2016
Autor: leduart

Hallo
schreib die Rekursionsformel fuür [mm] x_{n+1} [/mm] hin, setze die IndVors für n und n-1 ein und rechne nach, dass es [mm] (1/3)^{n+1} [/mm] gibt.
Tip: klammer [mm] 1/3*(1/3)^{n-1} [/mm] aus.
Gruss leduart

Bezug
                                
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Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 Mi 05.10.2016
Autor: cey112

Vielen Lieben Dank. Ich probiere es gleich aus :)

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Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 Fr 07.10.2016
Autor: cey112

Hat funktioniert :) Danke

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