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Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Di 31.10.2017
Autor: monki

Aufgabe
Zu n [mm] \in \IN [/mm] sei an definiert durch a1=1 und an+1 = an + n(n!). Zeigen Sie, dass jede natürliche Zahl k [mm] \le [/mm] n ein Teiler von an ist.

Ich komme leider gar nicht weiter. Ich hab versucht durch einsetzen von Zahlen weiterzukommen, jedoch verstehe ich denke ich die Aufgabenstellung nicht richtig.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Di 31.10.2017
Autor: angela.h.b.


> Zu n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm] a_n [/mm] definiert durch [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}= a_n [/mm] +
> n(n!). Zeigen Sie, dass jede natürliche Zahl k [mm]\le[/mm] n ein
> Teiler von [mm] a_n [/mm] ist.
>  Ich komme leider gar nicht weiter. Ich hab versucht durch
> einsetzen von Zahlen weiterzukommen, jedoch verstehe ich
> denke ich die Aufgabenstellung nicht richtig.

Hallo,

Du hast hier eine "Bastelanleitung" für eine Folge natürlicher Zahlen gegeben,
indem Dir gesagt wird, welches das erste Folgenglied ist [mm] (a_1=1), [/mm]
und wie Du, wenn Du ein Folgenglied hast, das nächste bauen kannst.

Schau:

[mm] a_1=1 [/mm]
[mm] a_2=a_{\red{1}+1}=a_\red{1}+\red{1}*(\red{1}!)=1+1=2 [/mm]
[mm] a_3=a_{\red{2}+1}=a_\red{2}+\red{2}*(\red{2}!)=2+4=6 [/mm]
[mm] a_4=a_{3+1}=a_3+3*(3!)=6+18=24 [/mm]
[mm] \vdots [/mm]

(Rechne Dir ruhig noch ein paar Folgenglieder aus.)

Nun wird behauptet, daß
[mm] a_1 [/mm] den Teiler 1 hat,
[mm] a_2 [/mm] die Teiler 1,2
[mm] a_3 [/mm] die Teiler 1,2,3
[mm] a_4 [/mm] die Teiler 1,2,3,4
[mm] a_5 [/mm] die Teiler 1,2,3,4,5
usw.

Dies sollst Du nun mit vollständiger Induktion zeigen.

Der Ablauf einer vollständigen Induktion ist Dir klar?

LG Angela


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Di 31.10.2017
Autor: monki

Bei der Aufgabe ist mir das mit der vollständigen Induktion nicht wirklich klar.
Es fängt bei dem Induktionsanfang schon an, weil ich nicht weiß, was ich für a einsetzen soll.

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Di 31.10.2017
Autor: angela.h.b.


> Bei der Aufgabe ist mir das mit der vollständigen
> Induktion nicht wirklich klar.
>  Es fängt bei dem Induktionsanfang schon an, weil ich
> nicht weiß, was ich für a einsetzen soll.

Die zu zeigende Behauptung ist:

[mm] a_n [/mm] wird für jede natürliche Zahl n von allen natürlichen Zahlen, die kleinergleich n sind, geteilt.
(Also von  1,2,3,..., (n-1), n).

Im Induktionsanfang zeige nun die Gültigkeit der Behauptung für n=1.
Du mußt also vormachen, daß die 1 ein Teiler von [mm] a_1 [/mm] ist, vom ersten Glied Deiner Folge.

I.A.:
n=1
Es ist [mm] a_1=1 [/mm] nach Definition der Folge, und 1 ist ein Teiler von 1.
Also stimmt die Behauptung für n=1.

I.V.:
Hier nimmt man nun einfach an, daß die Behauptung für irgendeine beliebige natürliche Zahl n gilt.
Also:
es seien 1,2,3,...,n Teiler von [mm] a_n [/mm] für ein [mm] n\in \IN. [/mm]
(Es ist nichts weiter zu tun, als dies hinzuschreiben.)

Jetzt kommt der Induktionsschluß, in welchem gezeigt wird, daß unter dieser Voraussetzung die Behauptung auch für die nächste natürliche Zahl, also für n+1, gilt.
Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist vorzurechnen, daß das nächste Folgenglied
[mm] a_{n+1}=a_n+n*(n!) [/mm] von 1,2,3,4...,n,n+1 geteilt wird.

LG Angela




Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 31.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

nachdem ich eine begonnene Antwort heute Nachmittag aus Zeitgründen abbrechen musste, möchte ich diese hier teilweise nachreichen:

> Bei der Aufgabe ist mir das mit der vollständigen
> Induktion nicht wirklich klar.
> Es fängt bei dem Induktionsanfang schon an, weil ich
> nicht weiß, was ich für a einsetzen soll.

Das mit dem Induktionsanfang ist ja beantwortet.

Zum Induktionsschluss: die Rechnung aus der ersten Antwort von angela.h.b. legt ja die Vermutung

[mm] a_{n}=n! [/mm]

nahe. Aus dieser Darstellung würde ja die zu beweisende Behauptung unmittelbar folgen. Und genau diese Vermutung zeigt man sehr einfach per vollst. Induktion. Du musst dazu nur die obige Induktionsvoraussetzung in [mm] a_{n+1} [/mm] einsetzen und geeignet umformen.


Gruß, Diophant

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