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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:04 Fr 10/11/2017
Author: Flowbro

Aufgabe
a
Sei m ∈N beliebig. Finden Sie eine geschlossen Darstellung für [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j + m−1). Beweisen Sie Ihre Vermutung!
b
Sei (K,+,·,<) ein geordneter Körper. Für x,y ∈K gilt 4xy ≤ (x + [mm] y)^2 [/mm]

brauch noch hilfe bei rest von meinen aufgaben
bei a find ich irgendwie einfach keine darstellung (wenn man die hat kann man die ja mit v. induktion beweisen) und bei b hab ich den induktionanfang, weiß aber nich wie es weiter geht da  man ja eigentlich dann n+1 einsetzt was aber nich da ist

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:00 Sa 11/11/2017
Author: angela.h.b.


> a
>  Sei m ∈N beliebig. Finden Sie eine geschlossen
> Darstellung für [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j +
> m−1). Beweisen Sie Ihre Vermutung!
>  b
>  Sei (K,+,·,<) ein geordneter Körper. Für x,y ∈K gilt
> 4xy ≤ (x + [mm]y)^2[/mm]
>  brauch noch hilfe bei rest von meinen aufgaben
>  bei a find ich irgendwie einfach keine darstellung (wenn
> man die hat kann man die ja mit v. induktion beweisen) und
> bei b hab ich den induktionanfang, weiß aber nich wie es
> weiter geht da  man ja eigentlich dann n+1 einsetzt was
> aber nich da ist

Hallo,

poste in Zukunft Aufgaben, die nicht zusammengehören, lieber  in verschiedene Threads.

a.
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j + 1)(j + 2)...(j + [mm] m−1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!} [/mm]

b.
Das ist nichts für Induktion.

Rechne vor, daß für alle x,y gilt [mm] (x+y)^2-4xy\ge [/mm] 0.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:48 Sa 11/11/2017
Author: Tobikall

oh ja die b geht ja super easy dann mit termumformungen :).
könntest du mir noch bei der a etwas erläutern wie du auf das ergebnis kommst und wie genau dabei der beweisansatz lautet, das wäre sehr nett :)))

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:21 So 12/11/2017
Author: angela.h.b.


>  könntest du mir noch bei der a etwas erläutern wie du
> auf das ergebnis kommst

Eingebung. Vom Engel geflüstert. Zur Sicherheit nochmal meinen Kater gefragt -
es ist völlig egal! Entscheidend ist, daß man seine Vermutung beweist.

[Naja, auch wenn es mich in einem schlechten Licht dastehen läßt:
ich habe ein Mathematikprogramm für mich arbeiten lassen...]

> und wie genau dabei der
> beweisansatz lautet, das wäre sehr nett :)))

Sei [mm] m\in \IN [/mm] beliebig.

Behauptung:
für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{j=1}^nj*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!} [/mm]

Induktionsanfang:
für n=1 hat man
[mm] \summe_{j=1}^1j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=1*2*3*...*m=m! [/mm]
und
[mm] \bruch{(m+1)!}{(m+1)(1-1)!}=... [/mm]
Die Behauptung stimmt also für n=1.

Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] ist
[mm] \summe_{j=1}^nj*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n)!}{(m+1)(n-1)!} [/mm]


Induktionsschluß:
hier ist nun vorzurechnen, daß die Behauptung unter der gemacten Voraussetzung auch für die nächste natürliche Zahl, also für n+1, gilt,
daß also
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1)=\bruch{(m+n+1)!}{(m+1)(n!} [/mm] .

[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j*(j+1)(j+2)*...*(j+m-1) [/mm]
[mm] =(\summe_{j=1}^n...)+... [/mm]
=... ... ... ... ...
[mm] =\bruch{(m+n+1)!}{(m+1)(n!} [/mm]

LG Angela











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