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Forum "Zahlentheorie" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
<br>
Zeigen Sie [mm] \sum_{i=1}^{n} i^{3} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2} (n\in \IN)[/mm]




Ich würde hier mit der vollständigen Induktion arbeiten.
Allerding weiß ich absolut nicht, wie Ich mit [mm] \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm] umzugehen habe. Im Skript finde ich auch nichts dazu.
[mm] \vektor{n+1 \\ 2} * \vektor{n+1 \\ 2}[/mm] damit hab ich angefangen..
Gruß,
LeFlair

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Fr 02.02.2018
Autor: leduart

Hallo
wenn du umschreibst gilt
[mm] \vektor{n+1 \\ 2}=\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
vielleicht siehst du dann auch dass das  [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] ist, was sich auch für die vollst. Induktion anbietet
Gruß leduart

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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Okay,
also mein Induktionsanfang:
[mm] \sum_{i=1}^{1}i^{3} = 1 = \frac{1+2+1}{4} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

Ist dies soweit korrekt?
Denn im Induktionsschritt komm ich nicht auf den gleichen Term.
Gruß
LeFlair

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Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Fr 02.02.2018
Autor: Fulla


> Okay,
> also mein Induktionsanfang:
> [mm]\sum_{i=1}^{1}i^{3} = 1 = \frac{1+2+1}{4} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

>

> Ist dies soweit korrekt?

Hallo LeFlair,

das [mm]n[/mm] hat in dieser Gleichung nichts zu suchen. Du setzt hier ja [mm]n=1[/mm]. Formulieren kannst du das z.B. so:

Induktionsanfang: [mm]n=1[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^1 i^3=1 = {2 \choose 2 }^2[/mm]

Oder auch beide Seiten separat ausrechnen und feststellen: Es kommt dasselbe raus.


Lieben Gruß,
Fulla

> Denn im Induktionsschritt komm ich nicht auf den gleichen
> Term.
> Gruß
> LeFlair


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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Eine Sache ist mir nicht klar:
wie gehe Ich hiermit um?
[mm] \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

Ich muss ja für den Induktionsschritt n+1 für n einstezen und dann steht am ende

[mm] \vektor{n+2 \\ 2}^{2}[/mm] wie rechne ich das jetzt aus?
Das ist mein Problem weshalb ich nicht weiterkomme.

Bzw
[mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] die klammern sind um Das ganze Summenzeichen gesetzt.. nehm ich trotzdem nur das i zum  quadrat?

Bezug
                                        
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Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Sache ist mir nicht klar:
> wie gehe Ich hiermit um?
> [mm]\vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

>

> Ich muss ja für den Induktionsschritt n+1 für n einstezen
> und dann steht am ende

>

> [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^{2}[/mm] wie rechne ich das jetzt aus?
> Das ist mein Problem weshalb ich nicht weiterkomme.
> Bzw
> [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] die klammern sind um Das ganze
> Summenzeichen gesetzt.. nehm ich trotzdem nur das i zum
> quadrat?

Es ist ein bisschen mühsam, deinen Überlegungen zu folgen. Du greifst ständig Ideen auf (das ist gut), führst sie aber nicht zu Ende (das ist nicht gut).

Dass

[mm] \sum_{k=1}^{n}i^3=\left ( \sum_{k=1}^{n}i \right )^2 [/mm]

gilt, ist zwar offensichtlich, aber das darf man hier in meinen Augen nicht einfach unbewiesen verwenden.

Für den Induktionsschluss von n auf n+1 musst du so vorgehen:

[mm] \sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3 [/mm]

Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der rechten Seite den Term

[mm] \vektor{n+2 \\ 2}^2 [/mm]

erzeugen.

Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn du von vornherein den Tipp von leduart beherzigst, nämlich

[mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]

zu benutzen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der rechten
> Seite den Term

>

> [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^2[/mm]

>

> erzeugen.

>

> Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn du
> von vornherein den Tipp von leduart beherzigst, nämlich

>

> [mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]

>

> zu benutzen.

[mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]
da würd ich nun rechnen:
[mm]{n+1 \choose 2}^2 = \frac{n(n+1)}{2} * \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}[/mm] das nun

[mm]+ (n+1)^{3} = \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4}[/mm]
Danach zusammenrechnen.. aber das sieht alles nicht richtig aus..
Ich glaube ich wende den Tipp von leduart falsch an!?

Gruß
LeFlair

Bezug
                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> >
> > [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> >
> > Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der
> rechten
> > Seite den Term
> >
> > [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^2[/mm]
> >
> > erzeugen.
> >
> > Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn
> du
> > von vornherein den Tipp von leduart beherzigst,
> nämlich
> >
> > [mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]
> >
> > zu benutzen.

>

> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> da würd ich nun rechnen:
> [mm]{n+1 \choose 2}^2 = \frac{n(n+1)}{2} * \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}[/mm]
> das nun

>

> [mm]+ (n+1)^{3} = \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4}[/mm]
> Danach
> zusammenrechnen..

Sei mal ein großes Stück mutiger! Das ist bis hierhin völlig richtig. Bildlich gesprochen hast du vor, Schwimmen zu gehen und stehst jetzt am Beckenrand. Und was machst du? Anstatt zu springen, ... ;-)

> aber das sieht alles nicht richtig aus..

Doch wie gesagt: es ist richtig. Jetzt musst du das zusammenfassen und danach den Zähler geeignet faktorisieren. Dazu solltest du dir klar machen, welche Faktoren du da gerne stehen hättest. Wenn du beim Faktorisieren unsicher bist, dann mache Nebenrechnungen vermittelst Polynomdivsion, ansonsten ergänze geeignet so dass du jeweils gewünschte Faktoren zum Ausklammern erhältst.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair


> Sei mal ein großes Stück mutiger! Das ist bis hierhin
> völlig richtig. Bildlich gesprochen hast du vor, Schwimmen
> zu gehen und stehst jetzt am Beckenrand. Und was machst du?
> Anstatt zu springen, ... ;-)

>

> > aber das sieht alles nicht richtig aus..

>

> Doch wie gesagt: es ist richtig. Jetzt musst du das
> zusammenfassen und danach den Zähler geeignet
> faktorisieren. Dazu solltest du dir klar machen, welche
> Faktoren du da gerne stehen hättest. Wenn du beim
> Faktorisieren unsicher bist, dann mache Nebenrechnungen
> vermittelst Polynomdivsion, ansonsten ergänze geeignet so
> dass du jeweils gewünschte Faktoren zum Ausklammern
> erhältst.

>
>

> Gruß, Diophant

Oh mein Gott..
Ich bin so doof.. Ich hatte wirklich alles richtig.. Auf meinem Schmierzettel hatte ich für [mm] \vektor{n+1 \\ 2}^2[/mm]
schon alles ausgerechnet. Es passte nur nicht weil ich im Induktionsschritt nicht mit [mm] $n+1^{3}§ [/mm] gerechnet habe.

Diophant Ich danke dir! Deine Art zu erklären ist Top!
Danke Danke Dnake!

Gruß
LeFlair

Bezug
                                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Oh mein Gott..
> Ich bin so doof..

Nein! Sind wir mal ehrlich: solche Dinge passieren uns allen hier, auch den routiniertesten Leuten.

Nur das mit dem Mut, das habe ich ernst gemeint: erst aufgeben, wenn es einen klaren Grund dafür gibt, den du für dich selbst auch benennen kannst!

> Diophant Ich danke dir! Deine Art zu erklären ist Top!
> Danke Danke Dnake!

Das hört man natürlich gerne. Und es ist selbstredend gern geschehen!


Gruß, Diophant

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