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W'keitsraum, Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 05.02.2017
Autor: Noya

Aufgabe
In einer Urne befinden sich 7 Kugeln, von denen 5 rot und 2 weiß sind. Wir ziehen nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

a) Gib einen Ergebnisraum [mm] \Omega [/mm] und einen Wahrscheinlichkeitsvektor p an, mit dem das Experiment beschrieben werden kann.

b)
i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel weiß ist.
ii) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel weiß ist, wenn bekannt ist, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind.

c) Angenommen, wir ziehen alle Kugeln nacheinander aus der Urne und legen sie in einer Reihe auf den Tisch. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle roten Kugeln nebeneinander liegen?

Hallo ihr Lieben,

ich habe da mal ein paar Fragen.

Wenn ich [mm] \Omega [/mm] betrachte und versuche mir alle möglichen Ergebnisse aufzuschreiben erhalte ich [mm] #\Omega [/mm] = 7

kann das sein? die Roten Kugeln sind ja untereinander nicht zu unterscheiden oder?

[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW)\} [/mm] habe ich da was vergessen oder übersehe ich etwas?

aber wenn ich die Kugeln nummerieren würde, s.d. die Kugeln 1-5 rot sind und 6,7 weiß erhalte ich ja für [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{w=(a,b,c) : a,b,c \in \{1,2,...,7\} a\not=b \not= c\}, [/mm] wobei [mm] #\Omega [/mm] = 7 * 6*5 = [mm] \bruch{7!}{(7-3)!} [/mm] = 210 Möglichkeiten wären?


Mir fällt es sehr schwer, die richtigen Infomationen aus der Aufgabe herauszuziehen.


Mir ist die zweite Möglichkeit deutlich einleuchtender, weiß aber nicht ob ich das einfach so annehmen kann.

Vielen Dank und liebe Grüße :)





        
Bezug
W'keitsraum, Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Noya,

> In einer Urne befinden sich 7 Kugeln, von denen 5 rot und
> 2 weiß sind. Wir ziehen nacheinander drei Kugeln ohne
> Zurücklegen heraus.
>  
> a) Gib einen Ergebnisraum [mm]\Omega[/mm] und einen
> Wahrscheinlichkeitsvektor p an, mit dem das Experiment
> beschrieben werden kann.
>  
> b)
>  i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei
> der gezogenen Kugeln rot sind, wenn bekannt ist, dass die
> erste gezogene Kugel weiß ist.
>  ii) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste
> gezogene Kugel weiß ist, wenn bekannt ist, dass mindestens
> zwei der gezogenen Kugeln rot sind.
>  
> c) Angenommen, wir ziehen alle Kugeln nacheinander aus der
> Urne und legen sie in einer Reihe auf den Tisch. Wie hoch
> ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle roten Kugeln
> nebeneinander liegen?
>  Hallo ihr Lieben,
>  
> ich habe da mal ein paar Fragen.
>  
> Wenn ich [mm]\Omega[/mm] betrachte und versuche mir alle möglichen
> Ergebnisse aufzuschreiben erhalte ich [mm]#\Omega[/mm] = 7
>  
> kann das sein? die Roten Kugeln sind ja untereinander nicht
> zu unterscheiden oder?
>  
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW)\}[/mm]
> habe ich da was vergessen oder übersehe ich etwas?

Das Ergebnis WWW fehlt noch.

>  
> aber wenn ich die Kugeln nummerieren würde, s.d. die
> Kugeln 1-5 rot sind und 6,7 weiß erhalte ich ja für
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{w=(a,b,c) : a,b,c \in \{1,2,...,7\} a\not=b \not= c\},[/mm]
> wobei [mm]#\Omega[/mm] = 7 * 6*5 = [mm]\bruch{7!}{(7-3)!}[/mm] = 210
> Möglichkeiten wären?
>  

Genau, dazu weiter unten

>
> Mir fällt es sehr schwer, die richtigen Infomationen aus
> der Aufgabe herauszuziehen.
>  
>
> Mir ist die zweite Möglichkeit deutlich einleuchtender,
> weiß aber nicht ob ich das einfach so annehmen kann.

Beide deiner Überlegungen sind richtig und führen beide zu einer Modellierung eines Ergebnis- bzw Wahrscheinlichkeitsraumes. Das Ganze bezeichnet man idR als sog. "Beobachtungstiefe". Die Wahl des Ergebnisraums $ [mm] \Omega$ [/mm] hängt quasi davon ab, welchen Ergebnisraum du für relevant hältst bzw welcher für deine eigentliche Aufgabenstellung relevant ist.
Der Übergang von einem $ [mm] \Omega_1 [/mm] $ zu [mm] $\Omega_2$ [/mm] wird vermittelt durch die sog. Zufallsvariable(n). Das wird bei dieser Aufgabe allerdings nicht gebraucht.

Die Frage ist also lediglich: Welcher Ergebnisraum ist für deine Aufgabe die sinnvollere Wahl bzw ist dein zweiter Ergebnisraum, mit den nummerierten Kugeln, wirklich relevant oder besser geeignet für diese Aufgabe? :)


>  
> Vielen Dank und liebe Grüße :)
>  
>
>

LG,
ChopSuey


Bezug
                
Bezug
W'keitsraum, Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 So 05.02.2017
Autor: Noya


> > [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW)\}[/mm]
> > habe ich da was vergessen oder übersehe ich etwas?
>  
> Das Ergebnis WWW fehlt noch.

aber es gibt doch nur 2 weiße Kugeln?

>  
> >  

> > aber wenn ich die Kugeln nummerieren würde, s.d. die
> > Kugeln 1-5 rot sind und 6,7 weiß erhalte ich ja für
> > [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{w=(a,b,c) : a,b,c \in \{1,2,...,7\} a\not=b \not= c\},[/mm]
> > wobei [mm]|\Omega|[/mm] = 7*6*5 = [mm]\bruch{7!}{(7-3)!}[/mm] = 210
> > Möglichkeiten wären?
>  >  
>
> Genau, dazu weiter unten

> Beide deiner Überlegungen sind richtig und führen beide
> zu einer Modellierung eines Ergebnis- bzw
> Wahrscheinlichkeitsraumes. Das Ganze bezeichnet man idR als
> sog. "Beobachtungstiefe". Die Wahl des Ergebnisraums [mm]\Omega[/mm]
> hängt quasi davon ab, welchen Ergebnisraum du für
> relevant hältst bzw welcher für deine eigentliche
> Aufgabenstellung relevant ist.
> Der Übergang von einem [mm]\Omega_1[/mm] zu [mm]\Omega_2[/mm] wird
> vermittelt durch die sog. Zufallsvariable(n). Das wird bei
> dieser Aufgabe allerdings nicht gebraucht.
>  
> Die Frage ist also lediglich: Welcher Ergebnisraum ist für
> deine Aufgabe die sinnvollere Wahl bzw ist dein zweiter
> Ergebnisraum, mit den nummerierten Kugeln, wirklich
> relevant oder besser geeignet für diese Aufgabe? :)

Danke!

Gibt es da Tricks wie man die "bessere" bzw geschicktere Wahl trifft?

beim ersten wäre ja p(RRR) [mm] \not= [/mm] p(RRW) oder?
beim zweiten wäre die Wkeit für alle gleich [mm] p(w)=\bruch{1}{210} [/mm] was ja deutlich einfacher ist oder?

wobei wenn ich meine erste Idee nochmal aufgreife, könnte ich [mm] \Omega [/mm] auch wie folgt darstellen

[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{R,W\}^3 [/mm] = [mm] \{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW),(WWW)\} [/mm]
mit

p(RRR) = [mm] \bruch{5}{7}*\bruch{4}{6}*\bruch{3}{5} [/mm] = [mm] \bruch{60}{210}=\bruch{2}{7} [/mm]
p(WWW)=0
[mm] p(RRW)=p(RWR)=p(WRR)=\bruch{5}{7}*\bruch{4}{6}*\bruch{2}{5}=\bruch{4}{21} [/mm]
p(RWW)=p(WRW)=p(WWR)= [mm] \bruch{5}{7}*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{5}=\bruch{1}{21} [/mm]

so wäre das doch einfacher für mich. wäre das korrekt so?

Bezug
                        
Bezug
W'keitsraum, Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 So 05.02.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Noya,

> > > [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW)\}[/mm]
> > > habe ich da was vergessen oder übersehe ich etwas?
>  >  
> > Das Ergebnis WWW fehlt noch.
>  aber es gibt doch nur 2 weiße Kugeln?

Sorry, mein Fehler. Dein $ [mm] \Omega$ [/mm] stimmt.

>  >  
> > >  

> > > aber wenn ich die Kugeln nummerieren würde, s.d. die
> > > Kugeln 1-5 rot sind und 6,7 weiß erhalte ich ja für
> > > [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{w=(a,b,c) : a,b,c \in \{1,2,...,7\} a\not=b \not= c\},[/mm]
> > > wobei [mm]|\Omega|[/mm] = 7*6*5 = [mm]\bruch{7!}{(7-3)!}[/mm] = 210
> > > Möglichkeiten wären?
>  >  >  
> >
> > Genau, dazu weiter unten
>  
> > Beide deiner Überlegungen sind richtig und führen beide
> > zu einer Modellierung eines Ergebnis- bzw
> > Wahrscheinlichkeitsraumes. Das Ganze bezeichnet man idR als
> > sog. "Beobachtungstiefe". Die Wahl des Ergebnisraums [mm]\Omega[/mm]
> > hängt quasi davon ab, welchen Ergebnisraum du für
> > relevant hältst bzw welcher für deine eigentliche
> > Aufgabenstellung relevant ist.
> > Der Übergang von einem [mm]\Omega_1[/mm] zu [mm]\Omega_2[/mm] wird
> > vermittelt durch die sog. Zufallsvariable(n). Das wird bei
> > dieser Aufgabe allerdings nicht gebraucht.
>  >  
> > Die Frage ist also lediglich: Welcher Ergebnisraum ist für
> > deine Aufgabe die sinnvollere Wahl bzw ist dein zweiter
> > Ergebnisraum, mit den nummerierten Kugeln, wirklich
> > relevant oder besser geeignet für diese Aufgabe? :)
>  Danke!
>  
> Gibt es da Tricks wie man die "bessere" bzw geschicktere
> Wahl trifft?

Es hängt im Wesentlichen davon ab, mit welcher Beschreibung du besser zurecht kommst. Da für jedes $ [mm] \omega \in \Omega_2$ [/mm] (das soll der Ergebnisraum mit den nummerierten Kugeln sein) gilt, dass $ [mm] p(\omega) [/mm] = [mm] \frac{1}{\vert \Omega_2 \vert}$ [/mm] handelt es sich um einen Laplace-Raum. Somit lässt sich ein Ereignis $ A $ wie beispielsweise $ A = RRR$ relativ einfach ermitteln durch das Verhältnis

$ P (A) = [mm] \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega_2 \vert}$. [/mm]

$ [mm] \Omega_1$ [/mm] hingegen ist kein Laplace-Raum. Die Wahrscheinlichkeit für RRR ließe sich also nicht durch

$ P (A) = [mm] \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega_1 \vert}$ [/mm] ermitteln.

Welche Verteilungen habt ihr denn bereits kennengelernt?

LG,
ChopSuey


Bezug
                                
Bezug
W'keitsraum, Ereignisse: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:00 Mo 06.02.2017
Autor: Noya


> Es hängt im Wesentlichen davon ab, mit welcher
> Beschreibung du besser zurecht kommst. Da für jedes [mm]\omega \in \Omega_2[/mm]
> (das soll der Ergebnisraum mit den nummerierten Kugeln
> sein) gilt, dass [mm]p(\omega) = \frac{1}{\vert \Omega_2 \vert}[/mm]
> handelt es sich um einen Laplace-Raum. Somit lässt sich
> ein Ereignis [mm]A[/mm] wie beispielsweise [mm]A = RRR[/mm] relativ einfach
> ermitteln durch das Verhältnis
>  
> [mm]P (A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega_2 \vert}[/mm].
>
> [mm]\Omega_1[/mm] hingegen ist kein Laplace-Raum. Die
> Wahrscheinlichkeit für RRR ließe sich also nicht durch
>
> [mm]P (A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega_1 \vert}[/mm]
> ermitteln.
>  
> Welche Verteilungen habt ihr denn bereits kennengelernt?

die meisten wichtigen. exponential, poisson, geometrische, (standard-)normalverteilt usw.

>
> LG,
>  ChopSuey
>  

mir fällt es leichter so :
$ [mm] \Omega_1 [/mm] $ = $ [mm] \{R,W\}^3 [/mm] $ = $ [mm] \{ (RRR), (RRW), (RWR), (WRR), (WWR), (WRW), (RWW),(WWW)\} [/mm] $
mit

p(RRR) = $ [mm] \bruch{5}{7}\cdot{}\bruch{4}{6}\cdot{}\bruch{3}{5} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{60}{210}=\bruch{2}{7} [/mm] $
p(WWW)=0
$ [mm] p(RRW)=p(RWR)=p(WRR)=\bruch{5}{7}\cdot{}\bruch{4}{6}\cdot{}\bruch{2}{5}=\bruch{4}{21} [/mm] $
p(RWW)=p(WRW)=p(WWR)= $ [mm] \bruch{5}{7}\cdot{}\bruch{2}{6}\cdot{}\bruch{1}{5}=\bruch{1}{21} [/mm] $
an.

dann wäre für b) i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel weiß ist.
A= mind. 2 Kugeln rot = [mm] \{(RRR),(RRW), (RWR), (WRR)\} [/mm]
B=1. Kugel weiß = [mm] \{(WRR),(WRW),(WWR),(WWW)\}=\{(WRR)\} \cap \{(WRW)\} \cap \{(WWR)\} \cap \{(WWW)\} [/mm]
gesucht : P(A|B) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm]
mit [mm] P(A\cap B)=\{(WRR)\} [/mm] = [mm] \bruch{4}{21} [/mm] und
P(B)= [mm] P(\{(WRR)\} \cap \{(WRW)\} \cap \{(WWR)\} \cap \{(WWW)\}= P(\{(WRR)\})+...+P(\{(WWR)\})= \bruch{4}{21} [/mm] + [mm] \bruch{1}{21} [/mm] + [mm] \bruch{1}{21} [/mm] + 0 = [mm] \bruch{6}{21}, [/mm] da [mm] \{(WRR)\} \cap \{(WRW)\} \cap \{(WWR)\} \cap \{(WWW)\} [/mm] =  [mm] \emptyset, [/mm] also disjunkt
und somit
P(A|B) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{4}{21}}{\bruch{6}{21}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]


ii) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel weiß ist, wenn bekannt ist, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind.
geuscht (mit A und B wie in i) )
P(B|A) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(A)} [/mm]

mit (Begründung s.oben) P(A) = [mm] \bruch{2}{7} [/mm] + 3 *  [mm] \bruch{4}{21} [/mm] = [mm] \bruch{16}{21} [/mm]
und somit
P(B|A) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(A)}= \bruch{\bruch{4}{21}}{\bruch{16}{21}}=\bruch{1}{4} [/mm]

wäre das so korrekt?

für die c) würde doch dann gelten :
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{R,W\}^7 [/mm]

C= alle roten nebeneinander = [mm] \{(RRRRRWW), (WRRRRRW),(WWRRRRR)\} [/mm]

und somit P(RRRRRWW) = P (WRRRRRW)= P(WWRRRRR) = [mm] \bruch{2}{7}\cdot{}\bruch{1}{6}\cdot{}\bruch{5}{5}\cdot{}\bruch{4}{4}\cdot{}\bruch{3}{3}\cdot{}\bruch{2}{2}\bruch{1}{1}=\bruch{2}{42}=\bruch{1}{21} [/mm]

[mm] P(C)=\bruch{3}{21}=\bruch{1}{7} [/mm]

Wäre das so richtig?

Vielen Dank ihr Lieben.

Bezug
                                        
Bezug
W'keitsraum, Ereignisse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:46 Mi 08.02.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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