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Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 So 30.04.2017
Autor: questionpeter

Aufgabe
(a) Die Menge [mm] \Omega=\{1,...,n\}r [/mm] mit n,r [mm] \in \IN [/mm] sei mit der Gleichverteilung versehen. Zeige, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

[mm] A:=\{(\omega_1,..,\omega_r)\in \Omega| \mbox{ Es gibt i\not= j \mbox{mit} \omega_i = \omega_j}\} [/mm]

die Abschätzung

[mm] P(A)\ge [/mm] 1- [mm] exp(\bruch{-r(r-1)}{2n}) [/mm] gilt

(b) Bestimme mit obiger Abschätzung ein möglichst kleines [mm] r\in\IN, [/mm] für das die Wahrscheinlichkeit, dass unter r Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als 50% ist. Dabei ist von einem Jahr mit 365 Tagen auszugehen und anzunehmen, dass alle Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.

Hinweis: 1-x [mm] \le [/mm] exp(-x)

Hallo zusammen,

ich hoffe Ihr könnt mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen.

(a) Damit die Wahrscheinlichkeit von A ausrechnen konnte habe ich erstmal folgendes Ereignis angeschaut bzw definiert:

[mm] B:=\{(\omega_1,..,\omega_r)\in \Omega| \forall i\not= j: \omega_i\not=\omega_j\} [/mm]

Weiter ist [mm] |\Omega|=n^r [/mm] und [mm] |B|=n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1) [/mm]


Also ist

[mm] |A|=|\Omega\setminus B|=n^r-n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1) [/mm]

Dann habe

[mm] P(A)=\bruch{|A|}{|\Omega|}=\bruch{n^r-n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1)}{n^r} [/mm] = [mm] 1-\bruch{n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1)}{n^r} \underbrace{\le}_{Hinweis} exp(-\bruch{n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1)}{n^r}) [/mm]

Leider weiß ich nicht wie ich jetzt von diesem Ausdruck [mm] \bruch{-n*(n-1)*(n-2)*\ldots(n-r+1)}{n^r} [/mm] nach diesem Ausdruck [mm] \bruch{-r(r-1)}{2n} [/mm] kommen soll.

Ist es ansonsten bis dahin soweit richtig?

zu (b) habe wie keine blasse Ahnung wie ich herangehen soll, daher wäre ich dankbar wenn Ihr mir da einen Tipp geben könntet. Danke!

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mo 01.05.2017
Autor: HJKweseleit

a) ist richtig, aber noch unvollständig.

Bei b) sollen MINDESTENS 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben, was leider so nicht im Text steht, aber sonst nicht mit dem Ergebnis aus a) lösbar ist.

Du wählst aus den n=365 möglichen Tagesdaten r Stück aus. P(A) gibt dir nun an, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben. Für großes r geht der Wert in der Abschätzung gegen 1, tatsächlich ist dies schon bei r=366 der Fall.

Nun rechnest du die rechte Seite mit verschiedenen r-Werten durch und zwar so lange, bis du das kleinste r gefunden hast, bei dem P noch gerade über 0,5 liegt.

(Lösung: r=23, was auch mit der genauen Formel übereinstimmt.)

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:54 Mo 01.05.2017
Autor: questionpeter

nochmals vielen Dank für Deine Hilfe besonders zu (b) . Leider weiß ich nicht wie ich bei (a) weitervorgehen soll. Könnte  jemand da noch weiterhelfen?

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 03.05.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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