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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Wahrscheinlichkeit
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Wahrscheinlichkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 25.07.2017
Autor: Bindl

Aufgabe
1)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau Brustkrebs hat, beträgt 1%. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit mit einer Mammografie erkannt wird, wenn sie vorliegt, beträgt 80%. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mammografie fälschlicherweise auf Brustkrebs hinweist, obwohl die Krankheit gar nicht vorliegt, beträgt 10%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau wirklich Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat?

2)
Ein Pharmaunternehmen hat einen kostengünstigen BSE-Schnelltest entwickelt. Das Unternehmen behauptet, dass Rinder, die mit BSE infiziert sind, mit Hilfe des Tests zu 99,8% als infiziert erkannt werden. Rinder, die nicht mit BSE infiziert sind, werden mit dem Test zu 99,1% als nicht infiziert erkannt. In einem Rinderbestand seien 3 von 10.000 Tieren mit BSE infiziert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Rind tatsächlich infiziert, wenn es bei dem Test als infiziert erkannt wird?

Hi zusammen,
zu dieser Aufgabe habe ich eine Lösung aus dem Tutorium.
Mir kommen die Lösungen jedoch etwas komisch vor.

1)
B+ hat Brustkrebs
M+ Mamografie ist positiv

P(B+;M+) = [mm] \bruch{P(B) * P(M+;B+)}{P(M+)} [/mm] = [mm] \bruch{0,01 * 0,8}{0,01 * 0,8 + 0,99 * 0,1} \approx [/mm] 0,0747

Das würde ja bedeuten das bei positiven Mamografiebefund hat nur zu 7,47% auch Brustkrebs hätte. Das macht doch wenig sinn, oder?

2)
P(BSE+ ; T+) = [mm] \bruch{0,0003 * 0,002}{0,0092967} \approx [/mm] 0,0322

Was ja bedeuten würde das ein als infiziertes Rind nur zu 3,22 % auch wirklich infiziert ist. Macht irgendwie auch wenig Sinn.

Ich habe das Gefühl das M+ bzw. T+ hier anders herum zu sehen ist und man noch 1 - 0,0322 machen muss.

Kann mir jmd helfen?

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Di 25.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> 1)
> Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige,
> symptomfreie Frau Brustkrebs hat, beträgt 1%. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit mit einer
> Mammografie erkannt wird, wenn sie vorliegt, beträgt 80%.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mammografie
> fälschlicherweise auf Brustkrebs hinweist, obwohl die
> Krankheit gar nicht vorliegt, beträgt 10%.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
> 40-jährige, symptomfreie Frau wirklich Brustkrebs hat,
> wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat?

>

> 2)
> Ein Pharmaunternehmen hat einen kostengünstigen
> BSE-Schnelltest entwickelt. Das Unternehmen behauptet, dass
> Rinder, die mit BSE infiziert sind, mit Hilfe des Tests zu
> 99,8% als infiziert erkannt werden. Rinder, die nicht mit
> BSE infiziert sind, werden mit dem Test zu 99,1% als nicht
> infiziert erkannt. In einem Rinderbestand seien 3 von
> 10.000 Tieren mit BSE infiziert.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Rind tatsächlich
> infiziert, wenn es bei dem Test als infiziert erkannt
> wird?
> Hi zusammen,
> zu dieser Aufgabe habe ich eine Lösung aus dem Tutorium.
> Mir kommen die Lösungen jedoch etwas komisch vor.

>

> 1)
> B+ hat Brustkrebs
> M+ Mamografie ist positiv

>

> P(B+;M+) = [mm]\bruch{P(B) * P(M+;B+)}{P(M+)}[/mm] = [mm]\bruch{0,01 * 0,8}{0,01 * 0,8 + 0,99 * 0,1} \approx[/mm]
> 0,0747

>

> Das würde ja bedeuten das bei positiven Mamografiebefund
> hat nur zu 7,47% auch Brustkrebs hätte. Das macht doch
> wenig sinn, oder?

Deine Rechnung ist richtig. Deine Schreibweisen sind mangelhaft. Deine Frage nach der Plausibilität des Resultats verstehe ich nicht. Da es falsch positive Befunde gibt ist doch von vorn herein klar, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit kleiner sein muss als die 80%, mit der ein vorhandener Brustkrebs auch diagnostiziert wird.

>

> 2)
> P(BSE+ ; T+) = [mm]\bruch{0,0003 * 0,002}{0,0092967} \approx[/mm]
> 0,0322

>

> Was ja bedeuten würde das ein als infiziertes Rind nur zu
> 3,22 % auch wirklich infiziert ist. Macht irgendwie auch
> wenig Sinn.

>

> Ich habe das Gefühl das M+ bzw. T+ hier anders herum zu
> sehen ist und man noch 1 - 0,0322 machen muss.

>

> Kann mir jmd helfen?

Schwierig, wenn keine nachvollziehbare Rechnung dasteht. Die Aufgabe 2 ist falsch. Das geht mit dem Zähler los der nicht für die Wahrscheinlichkeit der fraglichen Schnittmenge steht.

Die Aufgabe läuft völlig synchron zu Aufgabe 1, dies als Hinweis (hast du das nicht erkannt oder weshalb hast du hier so eine merkwürdige Rechnung aufgemacht?).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Di 25.07.2017
Autor: Bindl

Dann nochmal zu 2)
P(BSE+) = 3/10000 = 0,0003
P(BSE-) = 1 - 0,0003 = 0,9997
P(T+) = 0,0003 * 0,998 + 0,9997 * 0,009 = 0,0092967

Wenn man prüfen will ob ein Rind BSE+ ist wenn der Test T+ war frage ich ja nach P(BSE+;T+)
P(BSE+;T+) = [mm] \bruch{P(BSE+) * P(T+;BSE+)}{P(T+)} [/mm] = [mm] \bruch{0,0003 * 0,998}{0,0092967} \approx [/mm] 0,0322 -> 3,22%

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Di 25.07.2017
Autor: leduart

Hallo
macht weit Sinn?
überlege: vom den 10.000 Rindern werden ca 90 positiv getestet, ob mit oder ohne BSE
aber nur 3 sind wirklich krank:
und  feine Rechnung ist richtig.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Di 25.07.2017
Autor: Al-Chwarizmi


>  Hi zusammen,
>  zu dieser Aufgabe habe ich eine Lösung aus dem Tutorium.
>  Mir kommen die Lösungen jedoch etwas komisch vor.

  

> Das würde ja bedeuten das bei positiven Mamografiebefund
> hat nur zu 7,47% auch Brustkrebs hätte. Das macht doch
> wenig sinn, oder?


Deine Rechnung ist korrekt. Das Ergebnis wirft vorerst natürlich
Fragen auf: Lohnt sich der ganze Aufwand, wenn da so viele
"falsch positive" Befunde auftreten ?
Man muss aber an die sehr vielen Frauen denken, die bei einem
"negativen" Untersuchungsbefund dann doch sehr sicher sein
können (zu über 99.7%), keinen Brustkrebs zu haben.
Ferner sollte man sich auch klar machen, was dann mit den
Frauen mit "positivem Untersuchungsbefund", also mit
"Brustkrebsverdacht" weiter geschieht: natürlich werden sie
zu weiteren Untersuchungen eingeladen für nähere Abklärungen.
Vielen von ihnen kann dann wohl ebenfalls ein "echt positiver"
Bericht (positiv im Sinne der Frau) gegeben werden, wenn
andere, etwas aufwendigere Untersuchungen ergeben haben,
dass der Anfangsverdacht unbegründet war.

Natürlich wird daran gearbeitet, auch die Mammografie-
Untersuchungen in dem Sinne zu verbessern, dass weniger
"falsch positive" Befunde auftreten, damit noch weniger
Frauen mit der Angst über einen möglichen Krebs belastet
werden müssten.

LG ,    Al-Chwarizmi

Bezug
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