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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Wahrscheinlichkeitsmaß
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Wahrscheinlichkeitsmaß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Sa 29.04.2017
Autor: knowhow

Aufgabe 1
Sei [mm] \Omega\not=\emptyset [/mm] eine endliche oder abzählbare Menge und [mm] p=(p_{\sigma})_{\omega\in\Omega} [/mm] ein [mm] |\Omega|-dimensionaler [/mm] Wahrscheinlichkeitsvektor. Zeige, dass durch

[mm] P(A):=\summe_{\omega\in\Omega}p_{\omega} [/mm] für alle [mm] A\subseteq\Omega [/mm]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] (\Omega, \mathcal{P}(\Omega)) [/mm] definiert ist.

Aufgabe 2
Sei [mm] (P_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die alle auf einer sigma-Algebra [mm] \mathcal{F} [/mm] in [mm] \Omega [/mm] definiert seien. Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit [mm] \Sigma_{n\in\IN}a_n=1 [/mm] und sei P: [mm] \mathcal{F}\rightarrow \IR [/mm] definiert durch

[mm] P(A):=\summe_{n\in\IN}a_nP_n(A) [/mm] für alle [mm] A\in \mathcal{F} [/mm]

Zeige, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist

Hallo,

Man müsste es folgendes zeigen:

(1) [mm] P(A)\ge [/mm] 0

(2) [mm] P(\Omega)=1 [/mm]

(3) [mm] P(\bigcup_{j\in\IN}^{}A_j)=\summe_{j\in\IN} P(A_j) [/mm] für jede Folge paarweise verschiedene Ereignisse [mm] A_1, A_2,...\in \mathecal{P}(\Omega), [/mm] d.h. [mm] A_i\cap A_j=\emptyset \forall i\not=j [/mm]

zu Aufgabe 1:

für (1): Es sei [mm] p=p_\omega [/mm] Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gilt [mm] p_\omega\ge [/mm] 0 und [mm] \summe_{\omega\in A}p_\omega=1 [/mm]

Also folgt direkt [mm] P(A)\ge [/mm] 0

für (2) ist dann ist [mm] 1=\summe_{\omega\in A}p_\omega=P(A) [/mm]
folgt dann direkt [mm] P(\Omega)=1? [/mm]

Zu (3): habe ich leider keine Idee.

Zu Aufgabe 2:

für (1): Da [mm] \Sigma_{n\in\IN}a_n=1 [/mm] und für alle Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}\ge [/mm] 0 und [mm] (P_n)__{n\in\IN} [/mm] Wahrcheinlichkeitsmaßen, d.h. [mm] P_n(A)\ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Daraus folgt dann [mm] P(A)\ge [/mm] 0

leider weiß ich nicht so recht wie ich (2) und (3) zeigen könnte.

Kann mir da jemand weiterhelfen bzw. einen Tipp geben?


        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsmaß: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:02 So 30.04.2017
Autor: tobit09

Hallo knowhow!


In dieser Antwort korrigiere ich deine Lösungen.
Tipps für die fehlenden Teile gebe ich in einer separaten Antwort.


> Man müsste es folgendes zeigen:
>  
> (1) [mm]P(A)\ge[/mm] 0

für alle [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] (Aufgabe 1) bzw. für alle [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] (Aufgabe 2).

> (2) [mm]P(\Omega)=1[/mm]
>  
> (3) [mm]P(\bigcup_{j\in\IN}^{}A_j)=\summe_{j\in\IN} P(A_j)[/mm] für
> jede Folge paarweise verschiedene

paarweise disjunkter, nicht paarweise verschiedene!

> Ereignisse [mm]A_1, A_2,...\in \mathecal{P}(\Omega),[/mm]
> d.h. [mm]A_i\cap A_j=\emptyset \forall i\not=j[/mm]

Bei Aufgabe 2 muss es [mm] $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$ [/mm] statt [mm] $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] heißen.


> zu Aufgabe 1:
>  
> für (1): Es sei [mm]p=p_\omega[/mm] Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann
> gilt [mm]p_\omega\ge[/mm] 0 und [mm]\summe_{\omega\in A}p_\omega=1[/mm]

Vermutlich ein Tippfehler: Es muss hier [mm] $\summe_{\omega\in A}p_\omega\ge0$ [/mm] statt [mm] $\summe_{\omega\in A}p_\omega=1$ [/mm] heißen.

> Also folgt direkt [mm]P(A)\ge[/mm] 0

Ja.


> für (2) ist dann ist [mm]1=\summe_{\omega\in A}p_\omega=P(A)[/mm]
>  
> folgt dann direkt [mm]P(\Omega)=1?[/mm]

Es gilt nicht für alle [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] die Gleichung [mm] $1=\sum_{\omega\in A}p_\omega$. [/mm]
Aber für [mm] $A=\Omega$ [/mm] gilt dies, da [mm] $P(\Omega)=\summe_{\omega\in\Omega}p_\omega=1$ [/mm] (wobei die Gleichheit [mm] $\summe_{\omega\in\Omega}p_\omega=1$ [/mm] gilt, da [mm] $(p_\omega)_{\omega\in\Omega}$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist).


> Zu Aufgabe 2:
>  
> für (1): Da [mm]\Sigma_{n\in\IN}a_n=1[/mm] und für alle Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}\ge[/mm] 0 und [mm](P_n)__{n\in\IN}[/mm]
> Wahrcheinlichkeitsmaßen, d.h. [mm]P_n(A)\ge[/mm] 0 für alle
> [mm]n\in\IN.[/mm] Daraus folgt dann [mm]P(A)\ge[/mm] 0

Vermutlich meinst du es korrekt.
(Ich weiß nicht, was "für alle Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}\ge0$" [/mm] bedeuten soll.)

Ich würde es wie folgt notieren:

Sei [mm] $A\in\mathcal{F}$. [/mm]
Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist dann [mm] $P_n(A)\ge0$ [/mm] (da [mm] $P_n$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist) und damit [mm] $a_nP_n(A)\ge0$ [/mm] (da [mm] $a_n$ [/mm] nichtnegativ ist).
Es folgt [mm] $P(A)=\sum_{n\in\IN}a_nP_n(A)\ge0$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsmaß: fehlende Teile
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 So 30.04.2017
Autor: tobit09

Fangen wir mit dem leichteren Nachweis von

> (2) [mm]P(\Omega)=1[/mm]

bei Aufgabe 2 an.

Es gilt nach Definition von $P$:

     [mm] $P(\Omega)=\sum_{n\in\IN}a_nP_n(\Omega)$. [/mm]

Was weißt du über [mm] $P_n(\Omega)$? [/mm]

Wenn du dieses Wissen ausgenutzt hast, nutze anschließend die Voraussetzung [mm] $\sum_{n\in\IN}a_n=1$. [/mm]


Nun zum Nachweis von

> (3) [mm]P(\bigcup_{j\in\IN}^{}A_j)=\summe_{j\in\IN} P(A_j)[/mm] für
> jede Folge paarweise

disjunkter

> Ereignisse [mm]A_1, A_2,...\in \mathecal{P}(\Omega),[/mm]

(bzw. [mm] $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$) [/mm]

bei beiden Aufgaben.

Sei eine Folge paarweise disjunkter Ereignisse [mm] $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] bzw. [mm] $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Wir müssen [mm] $P(\bigcup_{j\in\IN}^{}A_j)=\summe_{j\in\IN} P(A_j)$ [/mm] zeigen.

Wende dazu zunächst die Definitionen von $P$ bei Aufgabe 1 bzw. Aufgabe 2 auf beiden Seiten der zu zeigenden Gleichheit [mm] $P(\bigcup_{j\in\IN}^{}A_j)=\summe_{j\in\IN} P(A_j)$ [/mm] an:

Nach Definition von P gilt [mm] $P(\bigcup_{j\in\IN}A_j)=\ldots$ [/mm] und [mm] $\summe_{j\in\IN} P(A_j)=\ldots$. [/mm] (Ersetze die Pünktchen für jede der beiden Aufgaben jeweils durch Passendes.)

(Erst wenn du dies getan hast, macht es Sinn, über weitere Schritte nachzudenken.)

Bezug
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