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Was passiert mit dem Bruch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 So 19.06.2016
Autor: arti8

Hallo,

ich hab in einigen Beispielaufgaben mal Brüche gefunden und iwie kann ich die Umformung nicht ganz nachvollziehen.


und zwar wird aus einem Bruch z.B.

[mm] \bruch{k}{k+1}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}} [/mm] Diese Umformung half den limes zu erkennen bzw. die Konvergenz einer Reihe zu bestimmen.

Was passiert dort genau ?

ein weiteres Beispiel war [mm] cos(\pi [/mm] /4)= [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

Hier bin cih bei der Entwicklung einer Taylorreihe gestolpert ändert zwar nichts am Ergebniss würde es gerne rotzdem verstehen was bei diesen Brüchen passiert ?

hab mal versucht es umzuschreiben.



[mm] \bruch{k}{k+1}= k^{1}*(k+1)^{-1}=k^{1}*k^{-1}+k^{1}*1^{-1}=1+\bruch{k}{1} [/mm]

Aber entweder ich mache es falsch oder das ist der falsche Ansatz das nachzuvollziehen. Jedenfalls würde ich gerne verstehen was in de Brüchen passiert. Kehrwert bringt auch nichts.

        
Bezug
Was passiert mit dem Bruch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 So 19.06.2016
Autor: Fulla


> Hallo,

>

> ich hab in einigen Beispielaufgaben mal Brüche gefunden
> und iwie kann ich die Umformung nicht ganz nachvollziehen.

>
>

> und zwar wird aus einem Bruch z.B.

>

> [mm]\bruch{k}{k+1}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}[/mm] Diese Umformung
> half den limes zu erkennen bzw. die Konvergenz einer Reihe
> zu bestimmen.

>

> Was passiert dort genau ?

Hallo arti8,

bei der Berechnung von Limiten verwendet man meistens, dass [mm]\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}=0[/mm] gilt. Darum will man solche Bruchterme "mit Gewalt" erzeugen. Bei [mm]\frac{k}{k+1}[/mm] stört, dass die k eben nicht als [mm]\frac 1k[/mm] dastehen. Das kann man aber ändern, indem man mit k kürzt:

[mm]\frac{k}{k+1}=\frac{k\cdot 1}{k\cdot (1+\frac 1k)}=\frac{1}{1+\frac 1k}[/mm]


>

> ein weiteres Beispiel war [mm]cos(\pi[/mm] /4)=
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]

>

> Hier bin cih bei der Entwicklung einer Taylorreihe
> gestolpert ändert zwar nichts am Ergebniss würde es gerne
> rotzdem verstehen was bei diesen Brüchen passiert ?

Üblicherweise nutzt man diese Umformung anderherum: [mm]\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/mm]. Oft möchte man seine Nenner rational haben, d.h. es sollen keine Wurzeln unterm Bruchstrich stehen. Dazu erweitert man den Bruch mit mit dem Nenner:

[mm]\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1\cdot \sqrt 2}{\sqrt 2\cdot\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/mm]


> hab mal versucht es umzuschreiben.

>
>
>

> [mm]\bruch{k}{k+1}= k^{1}*(k+1)^{-1}\red{=\ }k^{1}*k^{-1}+k^{1}*1^{-1}=1+\bruch{k}{1}[/mm]

>

> Aber entweder ich mache es falsch oder das ist der falsche
> Ansatz das nachzuvollziehen. Jedenfalls würde ich gerne
> verstehen was in de Brüchen passiert. Kehrwert bringt auch
> nichts.

Das ist Quatsch. Das zweite Gleichheitszeichen ist falsch, du darfst die Klammer hier wegen des Exponenten nicht einfach ausmultiplizieren. Das ist genauso wie bei [mm]a\cdot (b+c)^2\neq a\cdot b^2+a\cdot c^2[/mm]


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Was passiert mit dem Bruch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 So 19.06.2016
Autor: arti8

OK vielen Dank :)

Bezug
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