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Wenn in 0 steig, ganz stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mi 17.12.2014
Autor: duduknow

Aufgabe
Gegeben sei Funktion [mm] $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] mit der Eigenschaft $f(x + y) = f(x) + f(y)$ und $f$ stetig in $0$. Zeigen Sie: $f$ ist stetig auf [mm] $\mathbb{R}$. [/mm]

Hallo,

meine Idee zu dieser Aufgabe ist folgende:

Ich weiß, dass $f$ stetig ist in $0$, also [mm] $\lim_{x \rightarrow 0} [/mm] f(x) = f(0) = 0$ (denn $f(x) = f(x + 0) = f(x) + f(0) [mm] \Rightarrow [/mm] f(0) = 0$).

Wenn jetzt [mm] $x_0 \ne [/mm] 0$ ist, muss ich zeigen, dass [mm] $\lim_{x \rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$ [/mm] ist:
[mm] $\lim_{x \rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{x' \rightarrow \infty} f(x_0 \pm \frac{1}{x'}) [/mm] = [mm] \lim (f(x_0) \pm f(\frac{1}{x})) [/mm] = [mm] f(x_0)$, [/mm] indem ich $x' = [mm] \frac{1}{x - x_0}$ [/mm] substituiere.
Und daraus folgt die Behauptung, dass $f$ auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetig ist.

Ist das richtig argumentiert oder darf ich diese Substitution nicht machen?

Danke für eine Antwort und mit freundlichen Grüßen

        
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mi 17.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben sei Funktion [mm]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> mit der Eigenschaft [mm]f(x + y) = f(x) + f(y)[/mm] und [mm]f[/mm] stetig in
> [mm]0[/mm]. Zeigen Sie: [mm]f[/mm] ist stetig auf [mm]\mathbb{R}[/mm].
>  Hallo,
>  
> meine Idee zu dieser Aufgabe ist folgende:
>
> Ich weiß, dass [mm]f[/mm] stetig ist in [mm]0[/mm], also [mm]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0[/mm]
> (denn [mm]f(x) = f(x + 0) = f(x) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0[/mm]).

das ist okay, aber Du kannst es Dir auch etwas einfacher machen, und das
[mm] $x\,$ [/mm] konkretisieren. Ob Du nun

    $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$

oder

    $f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)$

schreibst, um [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] zu erhalten (oder allgemein mit x), ist ja egal.

> Wenn jetzt [mm]x_0 \ne 0[/mm] ist, muss ich zeigen, dass [mm]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)[/mm]
> ist:
> [mm]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x' \rightarrow \infty} f(x_0 \pm \frac{1}{x'}) = \lim (f(x_0) \pm f(\frac{1}{x})) = f(x_0)[/mm],
> indem ich [mm]x' = \frac{1}{x - x_0}[/mm] substituiere.

Das ist ein bisschen komisch aufgeschrieben, aber die Idee ist in Ordnung.
An der Stelle

    [mm] $\lim (f(x_0) \pm f(\frac{1}{x}))$ [/mm]

fehlt aber etwas: Da soll ja $x' [mm] \to \infty$ [/mm] laufen gelassen werden, und dann
gehört da auch [mm] $f(1/x\red{\,'\,})$ [/mm] hin!

Das Ganze ist deswegen etwas *unglücklich*, weil Du bei der Substitution
[mm] $x'=1/(x-x_0)$ [/mm] danach quasi davon ausgehst, dass $x [mm] \to x_0$ [/mm] gleichbedeutend
mit $x' [mm] \to \infty$ [/mm] oder $x' [mm] \to -\infty$ [/mm] ist. Was machst Du aber, wenn ich mich
etwa mit [mm] $x_n=x_0+(-1)^n*1/n$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] annähere? Das kann man beheben,
aber dann muss man formal ein wenig aufpassen.

> Und daraus folgt die Behauptung, dass [mm]f[/mm] auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm]
> stetig ist.
>
> Ist das richtig argumentiert oder darf ich diese
> Substitution nicht machen?

S.o., man kann sowas ähnlich aufschreiben, müßte dann aber $|x'| [mm] \to \infty$ [/mm] laufen
lassen und und und.

Ich frage mich aber, ehrlich gesagt, warum Du es Dir so schwer machst?
Du brauchst die Substitution doch eigentlich gar nicht:
Sei [mm] $x_0 \not=0\,.$ [/mm] Dann gilt

    [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}f(x-x_0+x_0)=\lim_{x \to x_0}\{f(x-x_0)+\underbrace{f(x_0)}_{\text{ unabhg. von }x}\}=f(x_0)+\lim_{x \to x_0}f(x-x_0)\,.$ [/mm]

Sei [mm] $d=d_{x_0}(x):=x-x_0\,$ [/mm] (nicht notwendig $d > 0$!). Dann gilt

    $x [mm] \to x_0$ $\iff$ [/mm] $d [mm] \to [/mm] 0$

und daher

    [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)+\lim_{d \to 0}f(d)\,.$ [/mm]

Den Rest bekommst Du hin!

Nur nochmal als Hinweis: Bei $d [mm] \to [/mm] 0$ darf das Vorzeichen von [mm] $d\,$ [/mm] beim "Nullzulauf"
variieren, wie es will, das interessiert keinen. Leider liefert $0 [mm] \not=d \to [/mm] 0$ weder

    $1/d [mm] \to \infty$ [/mm] noch $1/d [mm] \to -\infty\,,$ [/mm]

sondern nur $|1/d| [mm] \to \infty$. [/mm]

Modifiziert man Deine Variante etwas, so kann man mit ihr die Rechtsstetigkeit
in [mm] $x_0$ [/mm] und auch die Linksstetigkeit in [mm] $x_0$ [/mm] zeigen. Packt man das zusammen,
so hat man damit dann auch die Stetigkeit gezeigt. Aber in Deinem Aufschrieb
oben gibt's halt - wenn man es genau liest - ein paar Stellen, die man so
nicht schreiben kann!

P.S. Es gibt übrigens noch eine Alternative:

    [mm] $|f(x_0)-\lim_{x \to x_0}f(x)|=|f(x_0)-\lim_{h \to 0} f(x_0+h)|=...=|\lim_{h \to 0}f(h)|$ [/mm]

Beachte übrigens: Bei [mm] $\lim_{h \to 0}...$ [/mm] ist immer $0 [mm] \not=h$ [/mm] gemeint!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mi 17.12.2014
Autor: duduknow

Hi,

vielen Dank für deine Antwort. Das hat mir sehr geholfen.

Bezug
                        
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Do 18.12.2014
Autor: Marcel

Hi,

> Hi,
>  
> vielen Dank für deine Antwort. Das hat mir sehr geholfen.  

gerne. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Do 18.12.2014
Autor: fred97

Hallo duduknow,

do you know

Satz: Die Funktion $ [mm] f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ habe die Eigenschaft $ f(x + y) = f(x) + f(y) $ für alle $x,y [mm] \in \IR$. [/mm]
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) f ist in 0 stetig;

(2) f ist auf [mm] \IR [/mm] stetig;

(3) $f(x)=f(1)*x$   für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm]

Beweis: (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) ist erledigt. (3) [mm] \Rightarrow [/mm] (1) ist klar.

Den Beweis für  (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (3) versuche mal selbst.

FRED

Bezug
                
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:27 So 21.12.2014
Autor: duduknow

Hallo fred97,

ich habe deine leider Antwort erst jetzt gesehen. :( Danke dafür!

Eine aktuelle Übungsaufgabe ist es, zu zeigen, dass stetige Funktionen, die auf [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] übereinstimmen, auch auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] übereinstimmen. Daraus folgt (2) => (3) nach:

Das stimmt für alle $x [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] denn:

1) $0 = f(1 - 1) = f(1) + f(-1) [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(-1) = -f(1)$

2) $f(x) = [mm] f(\frac{q}{q}\cdot [/mm] 1) = [mm] q\cdot f(\frac{1}{q}\cdot [/mm] 1) [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{q} \cdot [/mm] f(1) = [mm] f(\frac{1}{q}\cdot [/mm] 1)$ [mm] $\forall [/mm] q [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm]

3) [mm] $f(p\cdot [/mm] 1) = [mm] p\cdot [/mm] f(1)$ [mm] $\forall [/mm] p [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] und mit 1) sowie $f(0) = 0$ also auch für alle $p [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm]

Also gilt die Aussage für alle [mm] $\frac{p}{q} [/mm] = x [mm] \in \mathbb{Q}$. [/mm]


(2) => (3) folgt nun mit der Übungsaufgabe:

Sei also [mm] $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ [/mm] und [mm] $x_k \in \mathbb{Q}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_k \rightarrow x_0$. [/mm]

Dann gilt [mm] $f(x_k) [/mm] = [mm] f(1)\cdot x_k$ $\forall [/mm] k$, und weil $f$ stetig muss [mm] $\lim_{k \rightarrow \infty} f(x_k) [/mm] = [mm] f(x_0)$. [/mm] Da der Grenzwert eindeutig ist muss [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] f(1)\cdot x_0$. [/mm]

Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 So 21.12.2014
Autor: fred97


> Hallo fred97,
>  
> ich habe deine leider Antwort erst jetzt gesehen. :( Danke
> dafür!
>  
> Eine aktuelle Übungsaufgabe ist es, zu zeigen, dass
> stetige Funktionen, die auf [mm]\mathbb{Q}[/mm] übereinstimmen,
> auch auf [mm]\mathbb{R}[/mm] übereinstimmen. Daraus folgt (2) =>
> (3) nach:
>  
> Das stimmt für alle [mm]x \in \mathbb{Q}[/mm], denn:
>  
> 1) [mm]0 = f(1 - 1) = f(1) + f(-1) \Leftrightarrow f(-1) = -f(1)[/mm]
>  
> 2) [mm]f(x) = f(\frac{q}{q}\cdot 1) = q\cdot f(\frac{1}{q}\cdot 1) \Leftrightarrow \frac{1}{q} \cdot f(1) = f(\frac{1}{q}\cdot 1)[/mm]
> [mm]\forall q \in \mathbb{N}[/mm]



Ganz links sollte f(1) stehen.


>  
> 3) [mm]f(p\cdot 1) = p\cdot f(1)[/mm] [mm]\forall p \in \mathbb{N}[/mm], und
> mit 1) sowie [mm]f(0) = 0[/mm] also auch für alle [mm]p \in \mathbb{Z}[/mm]
>  
> Also gilt die Aussage für alle [mm]\frac{p}{q} = x \in \mathbb{Q}[/mm].
>  
>
> (2) => (3) folgt nun mit der Übungsaufgabe:
>  
> Sei also [mm]x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}[/mm] und [mm]x_k \in \mathbb{Q}[/mm]
> eine Folge mit [mm]x_k \rightarrow x_0[/mm].
>
> Dann gilt [mm]f(x_k) = f(1)\cdot x_k[/mm] [mm]\forall k[/mm], und weil [mm]f[/mm]
> stetig muss [mm]\lim_{k \rightarrow \infty} f(x_k) = f(x_0)[/mm]. Da
> der Grenzwert eindeutig ist muss [mm]f(x_0) = f(1)\cdot x_0[/mm].
>
> Stimmt das so?  

Ja

FRED


Bezug
                                
Bezug
Wenn in 0 steig, ganz stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 So 21.12.2014
Autor: duduknow

Danke für die Korrektur.

Bezug
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