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Winkel: Winkel im Viereck berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Di 19.12.2017
Autor: Pacapear

Aufgabe
Ein Viereck hat die Eckpunkte O(0|0|0), P(2|3|5), Q(5|5|6) und R(1|4|9). Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größen der Winkel [mm] $\measuredangle [/mm] ROP$, [mm] $\measuredangle [/mm] OPQ$, [mm] $\measuredangle [/mm] PQR$ und [mm] $\measuredangle [/mm] QRO$.

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zur Winkelberechnung in der obigen Aufgabe.

Ich habe mir erstmal ein Viereck skizziert und es gegen den Uhrzeigersinn mit den Punkten O, P, Q, R beschriftet. Die Winkel [mm] $\measuredangle [/mm] ROP$ und [mm] $\measuredangle [/mm] OPQ$ habe ich laut Lösung richtig berechnet.

Nach dem gleichen Verfahren habe ich auch die [mm] $\measuredangle [/mm] PQR$ und [mm] $\measuredangle [/mm] QRO$ berechnet, bekomme allerdings nicht das Ergebnis der Lösung und auch keine Winkelsumme von 360°.

Hier ist meine Rechnung:

[mm] $\measuredangle [/mm] QRO$:

[mm] $cos(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{\overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RO}}{|\overrightarrow{RQ}| \cdot |\overrightarrow{RO}|} [/mm] = [mm] \frac{\vektor{4 \\ 1 \\ 3} \cdot \vektor{-1 \\ -4 \\ -9}}{|\vektor{4 \\ 1 \\ 3}| \cdot |\vektor{-1 \\ -4 \\ -9}|} [/mm] = [mm] \frac{-4-4-27}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{98}} [/mm] = -0,713$

[mm] $\Rightarrow \alpha [/mm] = 135,8°$

[mm] $\measuredangle [/mm] PQR$:

[mm] $cos(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QP}| \cdot |\overrightarrow{QR}|} [/mm] = [mm] \frac{\vektor{-3 \\ -2 \\ -1} \cdot \vektor{-4 \\ -1 \\ -3}}{|\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}| \cdot |\vektor{-4 \\ -1 \\ -3}|} [/mm] = [mm] \frac{12+2+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}} [/mm] = 0,891$

[mm] $\Rightarrow \alpha [/mm] = 27°$

Wo ist mein Fehler?

Ein Online-Rechner gibt mir die gleichen Ergebnisse. Sind meine Vektoren vielleicht irgendwie falsch?

Danke schonmal.

VG Nadine

        
Bezug
Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Di 19.12.2017
Autor: abakus

Überprüfe die Vorzeichen in den aufgestellten Vektoren.
Bezug
                
Bezug
Winkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Mi 20.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> Überprüfe die Vorzeichen in den aufgestellten Vektoren.

Ja, der steckte der Fehler, danke!

Bezug
        
Bezug
Winkel: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Di 19.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

abakus hat ja schon angedeutet, wo vermutlich der Fehler liegt (vermutlich, da ich nicht nachgerechnet habe).

Um so etwas von vornherein zu vermeiden, gibt es einen einfachen Trick für den Fall, dass man die Winkelformel in der Form anwendet, wie du es getan hast: ohne Betragsklammern im Zähler (was in der Schule bekanntlich oft gemacht wird). Wenn du also bei der Verwendung dieser Formel sichergehen möchtest, den gewünschten Winkel berechnet zu haben (und nicht seinen Nebenwinkel), dann achte einfach darauf, dass entweder beide Vektoren von diesem Winkel weg- oder beide zu ihm hinzeigen. Wenn man darauf achtet, muss man nachher nicht nachprüfen ob man den gewünschten Winkel erhalten hat und falls nicht das Resultat noch von [mm] 180^{\circ} [/mm] abziehen.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Di 19.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> dann
> achte einfach darauf, dass entweder beide Vektoren von
> diesem Winkel weg- oder beide zu ihm hinzeigen.

Eigentlich hatte ich mich bemüht, genau das zu beachten.

Für $ [mm] \measuredangle [/mm] PQR $ muss ich doch die Vektoren so wählen, dass sie von Q wegzeigen, also QP und QR verwenden.

[mm] $\overrightarrow{QP} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 5} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 5 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} \Rightarrow |\overrightarrow{QP}| [/mm] = [mm] \sqrt{14}$ [/mm]

[mm] $\overrightarrow{QR} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 9} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 5 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -1 \\ -3} \Rightarrow |\overrightarrow{QR}| [/mm] = [mm] \sqrt{26}$ [/mm]

Damit komme ich auf 27° statt 54,8°.

VG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Mi 20.12.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo!

>

> > dann
> > achte einfach darauf, dass entweder beide Vektoren von
> > diesem Winkel weg- oder beide zu ihm hinzeigen.

>

> Eigentlich hatte ich mich bemüht, genau das zu beachten.

>

> Für [mm]\measuredangle PQR[/mm] muss ich doch die Vektoren so
> wählen, dass sie von Q wegzeigen, also QP und QR
> verwenden.

>

> [mm]\overrightarrow{QP} = \vektor{2 \\ 3 \\ 5} - \vektor{5 \\ 5 \\ 6} = \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} \Rightarrow |\overrightarrow{QP}| = \sqrt{14}[/mm]

>

> [mm]\overrightarrow{QR} = \vektor{1 \\ 4 \\ 9} - \vektor{5 \\ 5 \\ 6} = \vektor{-4 \\ -1 \\ -3} \Rightarrow |\overrightarrow{QR}| = \sqrt{26}[/mm]

Hallo,

der zweite Vektor stimmt nicht.
9-6 ergibt nämlich 3.

LG Angela
>

> Damit komme ich auf 27° statt 54,8°.

>

> VG, Nadine


Bezug
                                
Bezug
Winkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Mi 20.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!



> der zweite Vektor stimmt nicht.
>  9-6 ergibt nämlich 3.



Oh mein Gott... Da war ich echt blind...

Vielen Dank, jetzt stimmt es :-)


Bezug
                
Bezug
Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 Di 19.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> muss man nachher nicht nachprüfen ob man
> den gewünschten Winkel erhalten hat und falls nicht das
> Resultat noch von [mm]180^{\circ}[/mm] abziehen.


Woher weiß ich das denn, ob ich den gewünschten Winkel erhalten habe oder nicht?

VG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 Mi 20.12.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo!

>

> > muss man nachher nicht nachprüfen ob man
> > den gewünschten Winkel erhalten hat und falls nicht das
> > Resultat noch von [mm]180^{\circ}[/mm] abziehen.

>
>

> Woher weiß ich das denn, ob ich den gewünschten Winkel
> erhalten habe oder nicht?

Hallo,

wenn Du einen Winkel mit dem Skalarprodukt berechnen möchtest, mußt Du immer darauf achten, die Vektoren entlang der beiden Schenkel so zu wählen, daß die Vektoren beide vom Scheitel weg oder beide zum Scheitel hinzeigen. Andernfalls bekommst Du den Nebenwinkel des Winkels, den Du eigentlich berechnen möchtest, mußt diesen also noch von 180° abziehen.

Mitdem Skalarprodukt kannst Du jedoch nur Winkel zwischen 0° und 180° berechnen.
Ich habe Dein Viereck mal grob skizziert, und mir scheint, wir haben hier einen Winkel im Spiel, der größer als 180° ist. Das Viereck ist also nicht konvex, so daß Du für diesen Winkel das mit dem Skalarprodukt berechnete Ergebnis von 360° subtrahieren mußt.

Ich rate Dir dringend zu einer Skizze. Da sieht man so etwas. Oder es könnte ja auch sein, daß Du die Reihenfolge der Punkte ungeeignet gewählt hast - was aber nicht der Fall ist.

LG Angela



>

> VG, Nadine


Bezug
                                
Bezug
Winkel: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 09:22 Mi 20.12.2017
Autor: Diophant


> wenn Du beachtest, daß die Vektoren beide vom Scheitel weg
> oder beide zum Scheitel hinzeigen, bekommst Du immer den
> Winkel zwischen den beiden Vektoren, also einen Winkel
> zwischen 0° und 180°.

Das hat doch überhaupt nichts miteinander zu tun. Man bekommt immer einen Winkel zwischen 0° und 180°, auch wenn man das mit den Vorzeichen nicht beachtet. (was sollte denn der Arkuskosinus auch anderes zurückliefern???).

Wenn man einen überstumpfen Winkel berechnen möchte, muss man sich dessen im Klaren sein und das Resultat der Rechnung mit der Formel von 360° abziehen. Die Problematik, dass man beim Anwenden der Formel auf die Vorzeichen achten muss, besteht natürlich auch in diesem Fall.

Bezug
                                        
Bezug
Winkel: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 12:40 Mi 20.12.2017
Autor: angela.h.b.

Danke!

ich habe meinen Beitrag so bearbeitet, daß ich jetzt hoffentlich richtig verstanden werde.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Winkel: ebenes Viereck ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Bei deinem Vektor [mm] \overrightarrow{RQ} [/mm] hast du einen Vorzeichenfehler
eingebaut. Abakus hat schon darauf hingewiesen.
Beachte ferner, dass die Winkelsumme in einem Viereck
im dreidimensionalen Fall gar nicht 360° betragen muss.
Oder bist du dir sicher, dass es sich bei dem vorliegenden
Viereck auch wirklich um ein ebenes Viereck handelt ?

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Winkel: Ja - ebenes Viereck
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Di 19.12.2017
Autor: Herby

Hi Al,

> Bei deinem Vektor [mm]\overrightarrow{RQ}[/mm] hast du einen
> Vorzeichenfehler
> eingebaut. Abakus hat schon darauf hingewiesen.
>  Beachte ferner, dass die Winkelsumme in einem Viereck
>  im dreidimensionalen Fall gar nicht 360° betragen muss.
>  Oder bist du dir sicher, dass es sich bei dem vorliegenden
> Viereck auch wirklich um ein ebenes Viereck handelt ?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Noch ein kleiner Zusatz: der Schnittpunkt der Diagonalen liegt außerhalb des Vierecks.

Grüße
Herby

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Winkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Herby:  danke für die Berechnung.

Mir ging es um die grundsätzliche Bemerkung, dass nicht
jedes beliebige "Viereck" die Winkelsumme 360° hat.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Winkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Di 19.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!



> Bei deinem Vektor [mm]\overrightarrow{RQ}[/mm] hast du einen
> Vorzeichenfehler
> eingebaut. Abakus hat schon darauf hingewiesen.

Ok, danke, das werde ich morgen mal prüfen.



>  Beachte ferner, dass die Winkelsumme in einem Viereck
>  im dreidimensionalen Fall gar nicht 360° betragen muss.

Oh, ok, das wusste ich gar nicht.
(In der Lösung ist es allerdings 360°.)



> Oder bist du dir sicher, dass es sich bei dem vorliegenden
> Viereck auch wirklich um ein ebenes Viereck handelt ?

Nein. In der Aufgabe steht nichts dazu.



VG, Nadine

Bezug
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