Winkel zwischen zwei Vektoren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien ⃗ a1 und ⃗ a2 Einheitsvektoren aus R3, die den Winkel 2/3 π einschließen. Berechnen Sie die Länge der Vektoren ⃗b1 = 4⃗a1−⃗a2 , ⃗b2 = 4⃗a1 + 6⃗a2 sowie den von ⃗b1 und ⃗b2 eingeschlossenen Winkel. |
Hallo Leute,
brauche dringend Hilfe bei einer Übungsaufgabe! Komme damit nicht so ganz klar und befinde mich auf dem Holzweg.
Habe überhaupt keine Ahnung wie ich die Einheitsvektoren und so ansetzen soll. Habe es mit a1 = (1,0,0) und a2 = (0,1,0) versucht. Aber dann habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich weiter vorgehen soll.
Vielen dank für eure Hilfe! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 12.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Seien ⃗ a1 und ⃗ a2 Einheitsvektoren aus R3, die den
> Winkel 2/3 π einschließen. Berechnen Sie die Länge der
> Vektoren ⃗b1 = 4⃗a1−⃗a2 , ⃗b2 = 4⃗a1 + 6⃗a2
> sowie den von ⃗b1 und ⃗b2 eingeschlossenen Winkel.
das sieht alles etwas seltsam aus, hast Du den Formeleditor verwendet?
> Hallo Leute,
>
> brauche dringend Hilfe bei einer Übungsaufgabe! Komme
> damit nicht so ganz klar und befinde mich auf dem Holzweg.
>
> Habe überhaupt keine Ahnung wie ich die Einheitsvektoren
> und so ansetzen soll. Habe es mit a1 = (1,0,0) und a2 =
> (0,1,0) versucht. Aber dann habe ich überhaupt keine
> Ahnung wie ich weiter vorgehen soll.
Wie die Vektoren explizit aussehen ist nicht angegeben, aber das brauchst Du zur Lösung der Aufgabe auch gar nicht zu wissen. Es sind Einheitsvektoren, das heißt sie haben den Betrag 1 und sie schließen miteinander den angegebenen Winkel ein, mehr brauchst Du gar nicht.
Wie man die Länge, also den Betrag berechnet wurde doch sicher in der Vorlesung (und vorher auch schon in der Schule) behandelt - schau mal nach.
Für das Skalarprodukt gilt:
[mm] $\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren (wurde garantiert auch in der Schule behandelt). Daraus kannst Du den Winkel berechnen.
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> Vielen dank für eure Hilfe!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gruß,
notinX
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Wenn ich dich richtig verstanden habe, kann ich für b1 und b2 jeweils mehrere Lösungen finden? Habe jetzt als b1 zum Beispiel (3,0,0) und für b2 (0,7,8) bekommen. Wäre das richtig? Die weitere Berechnung ist mír bewusst. Nur der Weg dahin ist mir nicht ganz klar..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 12.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, kann ich für b1 und
> b2 jeweils mehrere Lösungen finden? Habe jetzt als b1 zum
> Beispiel (3,0,0) und für b2 (0,7,8) bekommen. Wäre das
> richtig? Die weitere Berechnung ist mír bewusst. Nur der
> Weg dahin ist mir nicht ganz klar..
Nein, das ist falsch. Du kannst die Vektoren nicht explizit angeben, weil die jeweiligen Komponenten unbekannt sind.
Fangen wir mit dem Betrag an: Wie berechnet man den Betrag eines Vektors?
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a1 = |1| a2 = |1|
|a| = [mm] \wurzel{(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2}
[/mm]
So oder?
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Den Betrag von a1 und a2, also |1| habe ich in die Formel von b1= [mm] 4\overrightarrow{a1} [/mm] - [mm] \overrightarrow{a2} [/mm] und
b2= [mm] 4\overrightarrow{a1} [/mm] + [mm] \overrightarrow{a2} [/mm] eingesetzt. Da kamen drei und 9 heraus.
Das ist falsch oder?
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Hallo,
> Den Betrag von a1 und a2, also |1| habe ich in die Formel
> von b1= [mm]4\overrightarrow{a1}[/mm] - [mm]\overrightarrow{a2}[/mm] und
> b2= [mm]4\overrightarrow{a1}[/mm] + [mm]\overrightarrow{a2}[/mm] eingesetzt.
> Da kamen drei und 9 heraus.
>
> Das ist falsch oder?
Das ist in der Tat falsch.
Im allgemeinen ist [mm] |\vec{x}+\vec{y}|\not=|\vec{x}|+|\vec{y}|, [/mm] so auch hier.
Wie eben (weiter unten) gesagt, fang mal mit einer Skizze an.
Grüße
reverend
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Hallo chris,
> a1 = |1| a2 = |1|
Ja. Aber da brauchst Du ja nichts zu berechnen, die beiden Vektoren sind ja gegeben.
Trotzdem stehen die Betragsstriche da falsch.
[mm] |\vec{a}_1|=1 [/mm] und [mm] |\vec{a}_2|=1
[/mm]
> |a| = [mm]\wurzel{(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2}[/mm]
>
> So oder?
Das ist richtig.
Indizes werden hier mit vorweg gehendem Unterstrich geschrieben. Wenn der Index länger als ein Zeichen ist, muss er in geschweiften Klammern stehen. x_{12} ergibt $x_12$.
Also hübscher: [mm] |a|=\wurzel{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}
[/mm]
So, und wie gehts jetzt weiter?
Hör auf damit, irgendwelche Vektoren als Beispiel zu nehmen. Du sollst diese Aufgabe so rechnen, dass die Rechnung für alle nur denkbaren [mm] \vec{a}_1, \vec{a}_2 [/mm] gilt, die der Vorbedingung genügen.
Grüße
reverend
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Danke für die Tipps!
Das ist mein Problem, komme da absolut nicht weiter. Könnt ihr mir nen Ansatz geben? Hab ein Brett vorm Kopf.
Aber ist doch eigentlich ein Zahlenbeispiel oder?
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Hallo nochmal,
nein, es ist kein Zahlenbeispiel!
Die Aufgabe ist für beliebige Einheitsvektoren lösbar, wenn sie denn den Winkel [mm] \tfrac{2}{3}\pi [/mm] einschließen.
Trotzdem kannst Du die Länge von [mm] (4\vec{a}_1-\vec{a}_2) [/mm] bestimmen. Mach Dir doch mal eine Skizze!
Kontrollergebnis: [mm] \wurzel{13}
[/mm]
Grüße
reverend
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Ok, denke das habe ich. Für [mm] \overrightarrow{b2} [/mm] ist da [mm] \wurzel{52} [/mm] richtig?
Danke!
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Hallo chris1909,
> Ok, denke das habe ich. Für [mm]\overrightarrow{b2}[/mm] ist da
> [mm]\wurzel{52}[/mm] richtig?
Nein, das ist nur richtig, wenn die Einheitsvektoren
senkrecht aufeinander stehen. Und das ist hier nicht der Fall.
> Danke!
Gruss
MathePower
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Zeichnerisch komme ich auf die [mm] \wurzel{21} [/mm] für Vektor [mm] \overrightarrow{b1}. [/mm] Für [mm] \overrightarrow{b2} [/mm] in etwa [mm] \wurzel{28} \approx [/mm] 5,3. Aber wie komme ich rechnerisch da drauf? Kriege es einfach nicht hin. Habt ihr den Weg?
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Hallo nochmal,
> Zeichnerisch komme ich auf die [mm]\wurzel{21}[/mm] für Vektor
> [mm]\overrightarrow{b1}.[/mm]
Das ist ja schonmal ein Anfang. Zumindest kannst Du Dir sozusagen "optisch" ein Bild machen.
[mm] \vec{b}_1 [/mm] geht also 4 Schritte in Richtung [mm] \vec{a}_1 [/mm] und dann einen Schritt entgegen der Richtung von [mm] \vec{a}_2.
[/mm]
Wenn Du nun ein kartesisches Koordinatensystem einführen würdest, das in der einen Richtung (nennen wir mal x) eben die von [mm] \vec{a}_1 [/mm] hat, in der anderen eben nicht die von [mm] \vec{a}_2, [/mm] sondern die senkrecht zu [mm] \vec{a}_2 [/mm] (die nennen wir mal y), dann wäre [mm] \vec{b}_1 [/mm] doch so zu beschreiben: in x-Richtung erstmal 4, und dann kommts...
Du müsstest Deiner Zeichnung entnehmen können, dass nun noch ein halber Schritt in x-Richtung und einer in y-Richtung (oder in Richtung -y, das ist hier egal) von [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{3}=\sin{\left(\tfrac{2}{3}\pi\right)}.
[/mm]
Daher ist also [mm] |\vec{b}_1|=\wurzel{\left(4+\bruch{1}{2}\right)^2+\left(\bruch{1}{2}\wurzel{3}\right)^2}.
[/mm]
Soweit klar?
> Für [mm]\overrightarrow{b2}[/mm] in etwa
> [mm]\wurzel{28} \approx[/mm] 5,3. Aber wie komme ich rechnerisch da
> drauf?
Das müsstest Du jetzt auch selbst hinbekommen, wenn Du das oben verstanden hast. Versuchs mal.
> Kriege es einfach nicht hin. Habt ihr den Weg?
Grüße
reverend
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> Wenn Du nun ein kartesisches Koordinatensystem einführen würdest, das in der einen Richtung (nennen wir mal x) eben die von hat, in der anderen eben nicht die von sondern die senkrecht zu (die nennen wir mal y), dann wäre doch so zu beschreiben: in x-Richtung erstmal 4, und dann kommts...
>Du müsstest Deiner Zeichnung entnehmen können, dass nun noch ein halber Schritt in x-Richtung und einer in y-Richtung (oder in Richtung -y, das ist hier egal) von
Du wirst mich für dumm halten, aber den Schritt verstehe ich absolut nicht!!! Wenn ich meine Zeichnung darauf lege habe ich zuerst 4a1 auf der x-Achse und dann gehe ich am Nullpunkt um 60 ° in die andere Richtung (links) und zeichne a2 mit der Länge 1 ein. So hab ich das abgefriffen. Aber das 1/2 finde ich nirgendes. Bei mir ist das mehr!
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Ok. Zwei Fragen:
> > Wenn Du nun ein kartesisches Koordinatensystem einführen
> würdest, das in der einen Richtung (nennen wir mal x) eben
> die von hat, in der anderen eben nicht die von sondern
> die senkrecht zu (die nennen wir mal y), dann wäre doch
> so zu beschreiben: in x-Richtung erstmal 4, und dann
> kommts...
> >Du müsstest Deiner Zeichnung entnehmen können, dass nun
> noch ein halber Schritt in x-Richtung und einer in
> y-Richtung (oder in Richtung -y, das ist hier egal) von
>
> Du wirst mich für dumm halten, aber den Schritt verstehe
> ich absolut nicht!!! Wenn ich meine Zeichnung darauf lege
> habe ich zuerst 4a1 auf der x-Achse und dann gehe ich am
> Nullpunkt um 60 ° in die andere Richtung (links) und
> zeichne a2 mit der Länge 1 ein. So hab ich das
> abgefriffen. Aber das 1/2 finde ich nirgendes. Bei mir ist
> das mehr!
1) Welcher Winkel (in Grad) entspricht [mm] \tfrac{2}{3}\pi?
[/mm]
2) Was ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 1?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm] a_2 [/mm] ,it den 120° einzeichnest, was ist dann die Komponente (anteil) in y Richtung, was in x-Richtung?
Gruss leduart
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Ok, 0,5 in x-Richtung und ca. 0,866, also die [mm] 0,5\wurzel{3}, [/mm] nach oben. Das verstehe ich jetzt.
Nur wie sieht es für b2 aus? Zeichnerisch klappts, aber wie sieht da die Formel bzw. rechnerische Herleitung aus?
b2 = [mm] \wurzel{(4+1)^2 + (???)^2} [/mm] Ich komme einfach nicht drauf! Könnt ihr mir das bitte sagen, muss das morgen abgeben leider. Wäre klasse!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieder kannst du ablesen, addiere (-a1) davon solltest du die Komponenten kennen.
Gruss leduart
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Ja mach ich ja! b2 = $ [mm] \wurzel{(4+1)^2 + (1???)^2} [/mm] $ auf was anderes komm ich einfach nicht! Kannst du mir bitte mit dem Weg helfen? Muss das abgeben! Wäre klasse!
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Seufz.
[mm] \vec{b}_2=4\vec{a}_1+6\vec{a}_2, [/mm] nicht wahr?
> Ja mach ich ja! b2 = [mm]\wurzel{(4+1)^2 + (1???)^2}[/mm] auf was
> anderes komm ich einfach nicht! Kannst du mir bitte mit dem
> Weg helfen? Muss das abgeben! Wäre klasse!
[mm] \left|\vec{b}_2\right|=\wurzel{\left(4-6*\bruch{1}{2}\right)^2+\left(6*\bruch{1}{2}\wurzel{3}\right)^2}=2\wurzel{7}
[/mm]
Zeichnung? Hilft auch hier.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Di 13.11.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo reverend,
> Hallo nochmal,
>
> nein, es ist kein Zahlenbeispiel!
> Die Aufgabe ist für beliebige Einheitsvektoren lösbar,
> wenn sie denn den Winkel [mm]\tfrac{2}{3}\pi[/mm] einschließen.
>
> Trotzdem kannst Du die Länge von [mm](4\vec{a}_1-\vec{a}_2)[/mm]
> bestimmen. Mach Dir doch mal eine Skizze!
>
> Kontrollergebnis: [mm]\wurzel{13}[/mm]
>
Da hab ich leider etwas anderes heraus: [mm]\wurzel{21}[/mm]
> Grüße
> reverend
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 13.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo MathePower,
> > Kontrollergebnis: [mm]\wurzel{13}[/mm]
>
> Da hab ich leider etwas anderes heraus: [mm]\wurzel{21}[/mm]
Du hast Recht; das "leider" ist daher überflüssig.
Mein Ergebnis war das für [mm] |4a_1\blue{+}a_2| [/mm] und hier gar nicht gefragt.
Danke fürs Überprüfen!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Di 13.11.2012 | | Autor: | chris1909 |
Jetzt Blick ich gar nicht mehr durch... Auf deine Wurzel 13 kam ich ja. Skizze hab ich versucht. Kannste mir nicht mal nen Rechenansatz geben? Bzw. den Weg? Wäre überragend.
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