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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Wo ist die Funktion holomorph
Wo ist die Funktion holomorph < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wo ist die Funktion holomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 23.04.2016
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Sei $g(z) := [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2}+i*\frac{y^2}{x^2+y^2}$ [/mm]
mit $z = x + iy$ und $z [mm] \neq [/mm] 0$
Auf welchen Mengen ist diese Funktion holomorph?

Hi,

also wenn $u(x,y) =  [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2}$ [/mm] und $v(x,y) = [mm] \frac{y^2}{x^2+y^2}$, [/mm] dann kriege ich für die Cauchy-Riemannschen DGLn heraus dass:
[mm] $2xy^2 [/mm] = [mm] 2yx^2$ [/mm] und $-2x^2y = [mm] 2xy^2$ [/mm]

dass gilt dann nur wenn $x=0$ oder $y=0$. Also wäre die Funktion auf den Mengen:
[mm] $\{ (x,y) | x = 0, y < 0 \}$ [/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x = 0, y > 0 \}$ [/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x < 0, y = 0 \}$ [/mm]
[mm] $\{ (x,y) | x > 0, y = 0 \}$ [/mm]
holomorph.

Stimmt das so?

        
Bezug
Wo ist die Funktion holomorph: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Diese Funktion ist auf den von dir bestimmten Halbgeraden komplex differenzierbar. Sie ist dort aber nicht holomorph, denn die Halbgeraden sind in [mm]\mathbb{C}[/mm] nicht offen.

Bezug
                
Bezug
Wo ist die Funktion holomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 23.04.2016
Autor: mathenoob3000

also ist die Funktion nirgends holomorph? Andere Mengen gibt es ja nicht auf denen sie komplex diffbar wäre, oder hab ich was übersehen?

Bezug
                        
Bezug
Wo ist die Funktion holomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Richtig. Nirgends holomorph.

Bezug
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