Wohldefiniertheit < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Wir de finieren die Verknüpfung * auf [mm] \IR [/mm] \ {1} durch:
x * y = x + y - xy;
für alle x, y [mm] \in \IR.
[/mm]
(i) Beweisen Sie, dass * wohl de finiert und assoziativ ist.
(ii) Beweisen Sie, dass 0 ein neutrales Element für * ist.
(iii) Ist [mm] (\IR [/mm] \ {1}, 0, *) eine Gruppe? |
Was heißt wohldefiniert, wie zeige ich das? Habe bereits nachgeschlagen, aber ich verstehe es nicht.
Muss ich bei der Assoziativität zeigen, dass folgendes gilt?
x+y-xy=x+(y-x)y
Danke schonmal.
|
|
| |
|
Hallo hubbel,
> Wir de finieren die Verknüpfung * auf [mm]\IR[/mm] \ {1} durch:
>
> x * y = x + y - xy;
>
> für alle x, y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> (i) Beweisen Sie, dass * wohl de finiert und assoziativ
> ist.
> (ii) Beweisen Sie, dass 0 ein neutrales Element für *
> ist.
> (iii) Ist [mm](\IR[/mm] \ {1}, 0, *) eine Gruppe?
> Was heißt wohldefiniert, wie zeige ich das? Habe bereits
> nachgeschlagen, aber ich verstehe es nicht.
Du musst zeigen, dass die Abb.vorschrift "sinnvoll" ist.
Wohin soll * lt. Aufgabenstellung abbilden?
Tut es das?
>
> Muss ich bei der Assoziativität zeigen, dass folgendes
> gilt?
>
> x+y-xy=x+(y-x)y
Nein, du musst zeigen (x*y)*z=x*(y*z) für alle [mm]x,y,z\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
>
> Danke schonmal.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Soll abbilden auf [mm] \IR [/mm] \ {1}, nach [mm] \IR [/mm] bildet sich offentsichtlich ab, nur bei der 1 bin ich mir nicht sicher, ich muss ansich zeigen, dass es nicht auf 1 abbildet oder?
Für Assoziativität muss das doch so aussehen:
(x*y)*z=x*(y*z)<=>(x+y-xy)*z=x*(y+z-yz)<=>(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+(x+y-xy)-x(x+y-xy)
Das ist zu zeigen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Soll abbilden auf [mm]\IR[/mm] \ {1}, nach [mm]\IR[/mm] bildet sich
> offentsichtlich ab, nur bei der 1 bin ich mir nicht sicher,
> ich muss ansich zeigen, dass es nicht auf 1 abbildet oder?
Ja.
>
> Für Assoziativität muss das doch so aussehen:
>
> (x*y)*z=x*(y*z)<=>(x+y-xy)*z=x*(y+z-yz)<=>(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+(x+y-xy)-x(x+y-xy)
Da hast Du Dich wahrscheinlich vertippt, aber rechts fehlt z
FRED
>
> Das ist zu zeigen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe ich das richtig, ich muss zeigen, dass:
1 [mm] \not= [/mm] x+y-xy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Verstehe ich das richtig, ich muss zeigen, dass:
>
> 1 [mm]\not=[/mm] x+y-xy
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Mal umformen:
[mm] 1\not=x+y(1-x)<=> \left \bruch{1}{1-x} \not=\right\left \bruch{x}{1-x} \right+y
[/mm]
Nun ist klar, dass [mm] x\not=1
[/mm]
Analog dazu wäre es mit y, kann man das so machen? Und wenn nicht, bräuchte ich einen Tipp.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mal umformen:
>
> [mm]1\not=x+y(1-x)<=> \left \bruch{1}{1-x} \not=\right\left \bruch{x}{1-x} \right+y[/mm]
>
> Nun ist klar, dass [mm]x\not=1[/mm]
>
> Analog dazu wäre es mit y, kann man das so machen? Und
> wenn nicht, bräuchte ich einen Tipp.
ich kapiere nicht, welche Aussage Du uns damit liefern willst. Dass Du diese Umformung nur machen kannst, wenn $x [mm] \not=1\,,$ [/mm] ist klar. Aber bei Ungleichungen sollte man vorsichtig sein:
Wenn man $2 [mm] \not=3$ [/mm] mit [mm] $0\,$ [/mm] multipliziert, muss das [mm] $\not=$ [/mm] verschwinden, damit man [mm] $0=0\,$ [/mm] erhält.
Irgendwie kommt man doch mit Gleichungen und deren Lösungsmenge besser klar:
Also gehe es doch so an:
Angenommen, es gäbe $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] mit $x [mm] \* y=1\,.$ [/mm] Dann folgt $1=x+y-xy$ (nun rechnen wir in dem uns bekannten Körper [mm] $(\IR,+,*)\,.$)
[/mm]
[Bemerkung: Man kann sich schonmal überlegen:
Es kann weder [mm] $x=0\,$ [/mm] noch [mm] $y=0\,$ [/mm] gelten, denn wäre [mm] $x=0\,,$ [/mm] so folgt $x [mm] \* y=x+y-xy=0+y-0y=y=1\,.$ [/mm] Das kann aber nicht sein. Da hier allgemein $x [mm] \* [/mm] y=y [mm] \*x$ [/mm] gilt, sehen wir direkt analog, dass auch [mm] $y=0\,$ [/mm] nicht sein kann. Das kann man schonmal festhalten - auch, wenn wir das nicht wirklich explizit mehr brauchen werden!]
Wir haben nun also die Gleichung [mm] $1=x+y-xy\,,$ [/mm] die wir äquivalent umschreiben können zu
[mm] $$1=x(1-y)+y\,.$$
[/mm]
Löse die doch einfach mal nach [mm] $x\,$ [/mm] auf - unter Beachtung von $y [mm] \not=1\,.$ [/mm] Das ist nur noch Schulmathematik... irgendwo zwischen Klasse 6 und 9 anzusiedeln - je nachdem, wie der aktuelle Lehrplan aussieht. Wenn Du das getan hast:
Du erhältst dann einen Wert für [mm] $x\,,$ [/mm] der mit den gegebenen Voraussetzungen nicht sein kann. Also muss die Annahme verworfen werden.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
$ [mm] 1=x(1-y)+y\,.<=>$ 1-y=x(1-y)\,.<=>x=1 [/mm] $ $
Verstehe aber gerade nicht, was mir das sagt, denn 1 liegt ja nicht in dem Körper.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]1=x(1-y)+y\,.<=>[/mm] [mm]1-y=x(1-y)\,.<=>x=1[/mm] [mm][/mm]
>
> Verstehe aber gerade nicht, was mir das sagt, denn 1 liegt
> ja nicht in dem Körper.
(Körper? [mm] $\IR\setminus\{1\}$ [/mm] meinst du, oder?)
Das sagt dir, dass es keine Zahlen [mm] $x,y\in\IR\setminus\{1\}$ [/mm] geben kann, so dass $x+y-xy=1$ gilt.
Also ist * eine wohldefinierte Verknüpfung auf [mm] $\IR\setminus\{1\}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe nicht, wieso das nun wohldefiniert ist, wir haben doch ein x gefunden, kann mir nochmal jemand anhand dieser Aufgabe die Wohldefiniertheit erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, die Frage erübrigt sich, habe es aus deiner anderen Antwort heraus verstanden, danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe nicht, wieso das nun wohldefiniert ist, wir
> haben doch ein x gefunden,
nein. Es wurde gezeigt:
Unter der ANNAHME, dass [mm] $\*$ [/mm] doch ein Paar $(x,y) [mm] \in (\IR \setminus \{1\}) \times (\IR \setminus \{1\})$ [/mm] auf die [mm] $1\,$ [/mm] abbildet, also dass es doch $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] mit $(x,y) [mm] \mapsto \*((x,y))=:\*(x,y)=:x \* [/mm] y:=x+y-xy=1$ gibt, haben wir gezeigt, dass dann wegen $y [mm] \not=1$ [/mm] aus $x [mm] \* [/mm] y=1$ wegen [mm] $x+y-xy=1\,$ [/mm] schon FOLGEN WÜRDE, dass dann aber [mm] $x=1\,$ [/mm] SEIN MÜßte. Aber die Möglichkeit [mm] $x=1\,$ [/mm] wird aus der Voraussetzung $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] ausgeschlossen. Also haben wir einen Widerspruch:
Einerseits müßte [mm] $x=1\,$ [/mm] und damit $x [mm] \in \{1\}$ [/mm] sein, andererseits ist $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}\,.$ [/mm] Wir würden also $x=1 [mm] \in ((\IR \setminus \{1\}) \cap \{1\})=\emptyset$ [/mm] erhalten:
Die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] müßte dann ein Element, nämlich [mm] $x=1\,$ [/mm] enthalten. Aber die leere Menge hat keine Elemente - das ist ein Widerspruch!
Daraus folgt: Die ANNAHME muss verworfen werden. Es gibt also keine $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] mit $x [mm] \* y=1\,.$
[/mm]
(Sowas kennst Du hoffentlich doch: Man nennt dieses Beweisprinzip, welches hier vorgeführt wurde, BEWEIS PER WIDERSPRUCH!)
> kann mir nochmal jemand anhand
> dieser Aufgabe die Wohldefiniertheit erklären?
Generell bedeutet Wohldefiniertheit nicht unbedingt das, was es hier bedeutet - aber irgendwie auch schon. Nur meist macht der Begriff mehr Sinn, wenn man etwa Operationen auf Äquivalenzklassen definiert, wobei man dann mittels irgendeinen Repräsentanten die Opration definieren will. Da braucht man sowas wie "Repräsentantenunabhängigkeit".
Oder, wo dieser Begriff auch verwendet wird (die Bedeutung ist da aber eigentlich im Wesentlichen die gleiche wie die oben letztgenannte):
Wenn man $f: X [mm] \to [/mm] Y$ hat, und das eine Abbildung sein soll, dann "darf es quasi für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ nur ein $f(x) [mm] (\in [/mm] Y)$ geben". ("Normalerweise" verlangt man auch, dass es für JEDES $x [mm] \in [/mm] X$ ein [mm] $f(x)\,$ [/mm] gibt!)
Das ist sowas wie "die Umkehrung der Injektivität" (bei Gelegenheit blätter mal den Anfang des Buchs "Algebra" von Meyberg, Karpfinger durch - dort steht das relativ früh).
Das wird irgendwie klarer, wenn man eine Funktion als "zweistellige Relation" auffasst (was man später dann meist als Graph einer Funktion bezeichnet)...
Nunja: Oben war aber klar, dass es zu je zwei $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] nur einen Wert [mm] $\*(x,y)=x\*y \in \IR$ [/mm] gibt - nach Definition von [mm] $\*$ [/mm] war das klar. Nur war nicht klar, dass auch $x [mm] \* [/mm] y [mm] \not=1$ [/mm] ist für alle $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}\,,$ [/mm] und das war oben mit "wohl definierte Abbildung" gemeint.
---------------------------------------
Mal eine Analogie:
Wenn ich etwa schreibe, dass $q: [mm] \IR \to [1,\infty)$ [/mm] definiert sei durch [mm] $q(x):=x^2\,,$ [/mm] dann habe ich da auch unsinniges definiert. Warum ist meine Abbildung [mm] $q\,$ [/mm] nicht sinnvoll definiert?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Warum das nicht sinnvoll definiert ist, weiß ich nicht, nehme an, weil die Zahlen im Intervall [0,1] fehlen und die ja auch von g getroffen werden, wenn wir [mm] \IR [/mm] zugrunde legen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum das nicht sinnvoll definiert ist, weiß ich nicht,
> nehme an, weil die Zahlen im Intervall [0,1] fehlen und die
> ja auch von g getroffen werden, wenn wir [mm]\IR[/mm] zugrunde
> legen.
Deine Annahme ist korrekt. Du würdest also etwa sagen:
"Hey, es soll $g: [mm] \IR \to [1,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] sein? Aber für [mm] $x_0=0 \in \IR$ [/mm] ist doch etwa [mm] $g(x_0)=g(0)=0^2=0 \notin [1,\infty)\,.$"
[/mm]
Anders gesagt:
Ist $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung und ist [mm] $X\,$ [/mm] der Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] so darf/sollte dies auch nur so geschrieben werden und [mm] $f\,$ [/mm] Abbildung genannt werden, wenn das Bild von [mm] $X\,$ [/mm] unter [mm] $f\,,$ [/mm] also [mm] $f(X):=\text{Bild}(f)=\{f(x): x \in X\}$ [/mm] auch $f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y$ erfüllt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]1=x(1-y)+y\,.<=>[/mm] [mm]1-y=x(1-y)\,.<=>x=1[/mm] [mm][/mm]
korrekt. Dabei gilt allerdings bei dem letzten [mm] $\gdw$ [/mm] die Folgerung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nur, weil wir $1-y [mm] \not=0$ [/mm] wissen/benutzen dürfen!
> Verstehe aber gerade nicht, was mir das sagt, denn 1 liegt
> ja nicht in dem Körper.
Was haben wir denn gemacht? ANGENOMMEN, ES GÄBE $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] so, dass $x [mm] \* [/mm] y=1$ wäre. Die obige Rechnung zeigt, dass aus $y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] dann aber [mm] $x=1\,$ [/mm] folgt. Nach Voraussetzung war $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}\,,$ [/mm] also kann nicht [mm] $x=1\,$ [/mm] gelten. Daher muss die ANNAHME, dass es $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] mit $x [mm] \* [/mm] y=1$ gäbe, verworfen werden. Es gibt also kein Paar $(x,y) [mm] \in (\IR \setminus \{1\}) \times (\IR \setminus \{1\})$ [/mm] mit $x [mm] \* y=1\,.$ [/mm] Das ist nur eine Umformulierung der Aussage, dass für alle Paare $(x,y) [mm] \in (\IR \setminus \{1\}) \times (\IR \setminus \{1\})$ [/mm] folgt $x [mm] \* [/mm] y [mm] \not=1\,,$ [/mm] oder anders gesagt: $x [mm] \* [/mm] y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] (denn das $x [mm] \* [/mm] y [mm] \in \IR\,,$ [/mm] ergibt sich nach Definition von [mm] $\*$ [/mm] und etwa weil [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] ein Körper ist).
Kannst Du diese Argumentation verfolgen? Es ist wichtig, dass Du Dir das alles klar machst: Das sind elementare Überlegungen - ohne sowas elementares mal komplett verstanden zu haben, wirst Du später öfters nicht ganz durchblicken können ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich mache mal hier weiter und zwar zur Assoziativität:
(x*y)*z=x*(y*z)<=>(x+y-xy)*z=x*(y+z-yz)<=>(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)<=>x+y+z-xy-xz-yz+xyz=x+y+z-yz-xy-xz+xyz<=>0=0
Hoffe, dass ich mich nicht vertan habe, aber daraus folgt doch, dass das Assoziativgesetz gilt oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich mache mal hier weiter und zwar zur Assoziativität:
hier fehlt: "Seien $x,y,z [mm] \in \IR \setminus \{1\}$" [/mm] denn nur für solche ist ja [mm] $\*$ [/mm] überhaupt definiert (auch, wenn man sich [mm] $\*$ [/mm] "auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt vorstellen könnte"). Und ich würde hier auch nochmal drauf hinweisen, dass die Operation [mm] $\*$ [/mm] abgeschlossen ist (das ist nur eine andere Formulierung der Aufgabe, die wir vorher behandelt haben: Es heißt, dass diese Operation [mm] $\*$ [/mm] "nicht aus der betrachteten Grundmenge (hier [mm] $\IR \setminus \{1\}$(!!)) [/mm] herausführt"). Denn beachte:
Etwa der Ausdruck $x [mm] \*(y \* [/mm] z)$ kann selbst für $x,y,z [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] nur sinnvoll definiert sein, wenn $y [mm] \* [/mm] z$ dann auch in [mm] $\IR \setminus \{1\}$ [/mm] ist!!
> (x*y)*z=x*(y*z)<=>(x+y-xy)*z=x*(y+z-yz)<=>(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)<=>x+y+z-xy-xz-yz+xyz=x+y+z-yz-xy-xz+xyz<=>0=0
Ich finde das schwer zu lesen: schreibe einfach um alles jeweils ein Dollarzeichen (oder die geklammerten mm's, die Du gleich siehst), und benutze [mm] [nomm]$\gdw$[/nomm]: $\gdw$ [/mm] und [mm] [nomm]$\*$[/nomm]: $\*$.
[/mm]
Aber soweit ich das überblicke, ist das alles korrekt (Du könntest noch alle Äquivalenzen genau begründen oder einfach mal kurz schreiben, dass wir ja nach dem zweiten [mm] $\gdw$ [/mm] von links im Körper [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] "wie gewohnt" rechnen dürfen).
> Hoffe, dass ich mich nicht vertan habe, aber daraus folgt
> doch, dass das Assoziativgesetz gilt oder?
Ja. Der eigentliche Beweis ist das Verfolgen der Umformungskette von rechts nach links (also mit [mm] $0=0\,$ [/mm] beginnend und dann alle [mm] $\Leftarrow$ [/mm] verfolgen - neu aufgeschrieben sähe das grob so aus:
$0=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+y+z-xy-xz-yz+xyz=x+y+z-yz-xy-xz+xyz [mm] \Rightarrow \ldots \Rightarrow [/mm] (x [mm] \*y)\*z=x\*(y\*z)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 24.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, ja muss noch an meine Ausdrucksweise arbeiten, gebe ich zu. Man soll ja außerdem noch zeigen, dass 0 das neutrale Element ist, sprich:
z.z.: 0*x=x für alle x [mm] \in \IR \{1}
[/mm]
Kommt mir ziemlich einfach vor:
0*x=0+x-0x=x
Also ist 0 das neutrale Element, so müsste das stimmen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar, ja muss noch an meine Ausdrucksweise arbeiten,
> gebe ich zu. Man soll ja außerdem noch zeigen, dass 0 das
> neutrale Element ist, sprich:
>
> z.z.: 0*x=x für alle x [mm]\in \IR \{1}[/mm]
ja, wobei (auch, wenn's trivial ist) man dabei $0 [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] beachten sollte.
> Kommt mir ziemlich einfach vor:
Macht' nix: Oft sind diese Rechnungen halt "einfach" (nicht immer, aber schon sehr sehr oft)!
> 0*x=0+x-0x=x
Genau: Ist $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}\,,$ [/mm] so folgt
$$0 [mm] \* [/mm] x=0+x-0x=x$$
(und damit wegen $x [mm] \* y=y\*x$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] auch $x [mm] \* 0=x\,.$ [/mm] Ob Du das auch brauchst, hängt davon ab, was ihr wißt und wie ihr gewisse Bezeichnungen definiert habt. Eigentlich hast Du oben ja nachgerechnet, dass [mm] $0\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\*$ [/mm] das linksneutrale Element ist - wegen der Kommutativität ist es auch das rechtsneutrale. Und das ich hier von "dem" ...neutralen sprechen darf und nicht von "einem" ...neutralen sprechen muss, das liegt an einer Eindeutigkeitsaussage, die ihr hoffentlich bewiesen habt:
Beachte aber, dass es bzgl. der einseitig neutralen Elemente keine Aussage bzgl. "irgend-"einer Halbgruppe ist. Sondern ich meine: Wenn es in einer kommutativen Halbgruppe ein Linksneutrales gibt, dann ist es das rechtsneutrale und damit sind in kommutativen Halbgruppen das Links-, Rechts- und das Neutrale das gleiche, eindeutig bestimmte Element).
> Also ist 0 das neutrale Element, so müsste das stimmen
> oder?
Wie gesagt: Das hängt von Eurer Definition ab, ob Du auch noch $x [mm] \* [/mm] 0=x$ begründen solltest/musst. Ohne die von mir erwähnte Kommutativität zu benutzen geht das aber auch per Definitionem genauso schnell wie bei Deiner Rechnung oben!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, danke für deine erneut sehr ausführliche Antwort.
Nun, soll ich ja noch zeigen, dass dies eine Gruppe ist, Assoziativität ist erfüllt und auch die Sache mit dem neutralen Element. Es fehlt also nur noch das Inversenaxiom. Es muss also gelten:
[mm] x+x^{-1}-x^{-1}x=0
[/mm]
Meiner Meinung nach kann dies nicht gelten, da nicht beides erfüllt sein kann, das Inverse zur Mulitplikation und zur Addition, die ja beide vorkommen. Somit ist dies keine Gruppe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke für deine erneut sehr ausführliche Antwort.
bitte. Wobei eine kleine Korrektur:
Anstatt von kommutativer Halbgruppe muss man sagen, dass es eine kommutative Halbgruppe mit linksneutralem Element sei.
> Nun, soll ich ja noch zeigen, dass dies eine Gruppe ist,
> Assoziativität ist erfüllt und auch die Sache mit dem
> neutralen Element. Es fehlt also nur noch das
> Inversenaxiom. Es muss also gelten:
>
> [mm]x+x^{-1}-x^{-1}x=0[/mm]
>
> Meiner Meinung nach kann dies nicht gelten, da nicht beides
> erfüllt sein kann, das Inverse zur Mulitplikation und zur
> Addition, die ja beide vorkommen. Somit ist dies keine
> Gruppe.
was stört Dich denn daran? Beachte, dass [mm] $x^{-1}$ [/mm] sich nicht auf die [mm] $\cdot$ [/mm] in [mm] $\IR\,,$ [/mm] sondern sich auf [mm] $\*$ [/mm] bezieht!
Ich mach's mir hier mal ganz einfach, ich rechne Dir mal was vor, was Dir hoffentlich weiterhilft:
Du hast schon erkannt, dass [mm] $0\,$ [/mm] das neutrale Element ist.
Sei nun [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] beliebig, aber fest. Wir suchen $y [mm] \in \IR \setminus \{1\}$ [/mm] so, dass [mm] $x_0 \* y=0\,.$
[/mm]
Also haben wir [mm] $y\,$ [/mm] so anzugeben, dass [mm] $x_0+y-x_0y=0$ [/mm] gilt. Jetzt ein altbekanntes Spiel:
Letzte Gleichung ist äquivalent zu
[mm] $$y(1-x_0)=-x_0\,.$$
[/mm]
Wie kann man das nach [mm] $y\,$ [/mm] auflösen und warum geht das?
P.S.
Beim Beweis machst Du's Dir dann einfacher:
Du behauptest einfach, dass für $x [mm] \in \IR \setminus \{1\}=:G$ [/mm] dann [mm] $y:=-x/(1-x)\,$ [/mm] das Inverse ist (es ist klar, dass es wegen $x [mm] \not=1$ [/mm] definiert ist und es ist auch klar, dass [mm] $y=1\,$ [/mm] nicht sein kann: "Denn angenommen, doch...") - also ist $y [mm] \in [/mm] G$ - und die Eigenschaft "inverses Element von $x [mm] \in [/mm] G$ bzgl. [mm] $\*$ [/mm] zu sein" rechnest Du einfach vor:
$$x [mm] \* [/mm] (-x/(1-x))=x+(-x/(1-x))-x*(-x/(1-x))=...$$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, ich habe es verstanden, danke! :D
|
|
|
|
