matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenWurzelkriterium beweisen?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Wurzelkriterium beweisen?
Wurzelkriterium beweisen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wurzelkriterium beweisen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Fr 01.01.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Es sei eine Reihe ( [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_k \in \IR [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass für deren Konvergenzverhalten dann folgende zwei Kriterien gelten:

a) Falls ein q < 1 und ein  [mm] k_0 \in \IN [/mm] existieren, sodass für alle k [mm] \ge k_0 [/mm] gilt, dass [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \le [/mm] q.
Dann konvergiert die Reihe absolut.

b) Falls für unendlich viele k gilt, dass [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1 , dann divergiert die Reihe.

Hallo und ein frohes neues Jahr,

zu a) Ich glaube, man soll hier einfach das Wurzelkriterium beweisen, oder ? Zusatzfrage: Warum [mm] \le [/mm] q und nicht < q ? Wenn das Wurzelkriterium genau 1 liefert, kann man doch über das Konvergenzverhalten keine Aussage treffen ?

zu b) Wie genau gehe ich hier vor ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Wurzelkriterium beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Fr 01.01.2016
Autor: sandroid

Zu a) Kingt nach einem Beweis des Wurzelkriteriums. Beachte, dass da steht $q < 1$.

Zu b) Ich würde mich fragen, ob es sich dann bei [mm] $a_{k}$ [/mm] noch um eine Nullfolge handelt, was ja ein notwendiges Kriterium für Konvergenz ist. Ist aber nur so eine Idee ;)

Bezug
        
Bezug
Wurzelkriterium beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Fr 01.01.2016
Autor: Ladon


> zu a) Ich glaube, man soll hier einfach das Wurzelkriterium
> beweisen, oder ?

Korrekt! :-)

> Zusatzfrage: Warum [mm]\le[/mm] q und nicht < q ?
> Wenn das Wurzelkriterium genau 1 liefert, kann man doch
> über das Konvergenzverhalten keine Aussage treffen ?

Die Aussage ist richtig. Bedenke $q<1$, was $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \le [/mm] q <1$ liefert.

> zu b) Wie genau gehe ich hier vor ?

Der Beweis geht in beiden Fällen durch Rückführung auf das Majorantenkriterium (Umformung gibt [mm] $|a_k|\le q^k$). [/mm]
Aussage b) sollte wie folgt lauten:

Gibt es $q>1$ mit [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}\ge [/mm] q$ für fast alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] dann divergiert die Reihe.

Viele Grüße
Ladon

Bezug
                
Bezug
Wurzelkriterium beweisen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 01.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antworten. Also ich probiere es mal:

a) q <1:

Für ein q [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] < q  < 1 gibt es einen Index [mm] n_0 \in \IN [/mm] , sodass:
[mm] \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] < q , für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge n_0 [/mm]

Dann gilt die Abschätzung: [mm] \summe_{n=n_0}^{ |a_n| } [/mm] < [mm] \summe_{n=n_0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] q^{n_0} \bruch{1}{1-q} [/mm] < [mm] \infty [/mm]

Also konvergiert die Reihe.


b) Mit diesem unendlich k weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, daher habe ich das probiert:

Sei q > 1 , q = [mm] \overline{lim} \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] > 1. Dann existiert eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) \subset (a_n) [/mm]
mit lim [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] = q. Wähle [mm] \varepsilon [/mm] > 0, sodass q > 1 + [mm] \varepsilon [/mm]

Dann existiert ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit | [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] -q | < [mm] \varepsilon [/mm] für k [mm] \ge k_0 [/mm]

Somit ist - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] => 1 < q - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] =>  1 < [mm] |a_{n_k}| [/mm] für k [mm] \ge k_0 [/mm]

Daraus folgt, dass [mm] a_{n_k} [/mm] nicht gegen 0 strebt. Daraus wiederrum folt, dass [mm] a_n [/mm] nicht gegen 0 strebt.
=> Reihe ist divergent.

Ich bitte um Kontrolle.

Bezug
                        
Bezug
Wurzelkriterium beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Sa 02.01.2016
Autor: Ladon


> a) q <1:
>  
> Für ein q [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{ |a_n| }[/mm] < q  < 1 gibt es einen Index [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> , sodass:
>  [mm]\wurzel[n]{ |a_n| }[/mm] < q , für alle n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge n_0[/mm]
>  
> Dann gilt die Abschätzung: [mm]\summe_{n=n_0}^{ |a_n| }[/mm] <
> [mm]\summe_{n=n_0}^{\infty} q^n[/mm] = [mm]q^{n_0} \bruch{1}{1-q}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm]
> Also konvergiert die Reihe.

Was meinst du mit [mm] $\summe_{n=n_0}^{ |a_n| }$? [/mm]
Du kannst doch einfach
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty a_n\le \sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty q^n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\frac{q^{n_0+1}}{1-q}<\infty$$ [/mm]
mit der geometrischen Summenformel und der Abschätzung von meiner vorherigen Antworten schreiben. Die Konvergenz folgt aus dem Satz über konvergente Majoranten.

>
> b) Mit diesem unendlich k weiß ich nicht, wie ich anfangen
> soll,

Die b) geht analog zu a). Du suchst diesmal nur eine divergente Minorante, um nach unten hin abzuschätzen. Da für fast alle $k$ gilt $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1$, kann man wieder
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty a_n\ge\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty [/mm] 1$$
abschätzen.

Liebe Grüße
Ladon

Bezug
        
Bezug
Wurzelkriterium beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 So 03.01.2016
Autor: fred97

Zu b):

aus  $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1$  für unendlich viele k folgt

     [mm] $|a_k| \ge [/mm] 1$  für unendlich viele k.

Was ist nun [mm] (a_k) [/mm] mit Sicherheit nicht ?

Bingo !  [mm] (a_k) [/mm] ist keine Nullfolge.

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]