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Zeigen, dass Formel gilt: 2 Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980

Hallo,

diesmal hab ich gleich 2 Problemchen, die aber in die gleiche Kategorie fallen.
Kann mir einer den Lösungsweg erklären, wie ich zeigen kann, dass für alle b, x, y [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < x < y und b < 0 gilt:

1) [mm] \bruch{x}{b + x} [/mm] < [mm] \bruch{y}{b + y} [/mm]

Ich vermute, dass man irgendwie starten muss mit

x < y [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] > [mm] \bruch{1}{y} [/mm]
[mm] \bruch{y}{b + x} [/mm] > [mm] \bruch{y}{b + y} [/mm]
[mm] \bruch{x}{b + y} [/mm] < [mm] \bruch{x}{b + x} [/mm]
[mm] \bruch{x}{y} [/mm] < [mm] \bruch{y}{x} [/mm]
b + x  < b + y

Aber irgendwie weiß ich nicht, was ich daraus weiterhin schlussfolgern kann.

2) [mm] \bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n} [/mm]


Danke und Gruß
Martin

        
Bezug
Zeigen, dass Formel gilt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Di 12.12.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> diesmal hab ich gleich 2 Problemchen, die aber in die
> gleiche Kategorie fallen.
>  Kann mir einer den Lösungsweg erklären, wie ich zeigen
> kann, dass für alle b, x, y [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < x < y und b <
> 0 gilt:
>  
> 1) [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm]

Für b<0 ist dies i.a. falsch ! Beispiel: b=-1, x=2,y=3.

Ist b>0, so stimmts:

[mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm] \gdw [/mm] bx+xy <by+xy [mm] \gdw [/mm] bx<by.



>  
> Ich vermute, dass man irgendwie starten muss mit
>  
> x < y [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{x}[/mm] > [mm]\bruch{1}{y}[/mm]

>  [mm]\bruch{y}{b + x}[/mm] > [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm]

>  [mm]\bruch{x}{b + y}[/mm] <
> [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm]
>  [mm]\bruch{x}{y}[/mm] < [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>  b + x  < b + y
>  
> Aber irgendwie weiß ich nicht, was ich daraus weiterhin
> schlussfolgern kann.
>  
> 2) [mm]\bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n}[/mm]

Was ist hier über a und b vorausgesetzt ?


>  
> Danke und Gruß
>  Martin


Bezug
                
Bezug
Zeigen, dass Formel gilt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980

Sorry, bei 1) ist mir ein Tippfehler unterlaufen. Es muss heißen b > 0
Bei 2 hab ich die Annahmen vergessen:

a, b, n [mm] \in \IN [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Zeigen, dass Formel gilt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Di 12.12.2017
Autor: fred97

Zu 2): für x,y,z >0 gilt

[mm] \frac{x}{y+z} <\frac{x}{y} [/mm]

"Man vergrößert einen Bruch, indem man den Nenner verkleinert."

Bezug
                
Bezug
Zeigen, dass Formel gilt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980


> Ist b>0, so stimmts:
>  
> [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] bx+xy <by+xy [mm]\gdw[/mm]
> bx<by.

Kannst du das noch ein Bisschen ausführen? Ich versteh's nicht ...

Bezug
                        
Bezug
Zeigen, dass Formel gilt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Di 12.12.2017
Autor: fred97


>
> > Ist b>0, so stimmts:
>  >  
> > [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] bx+xy <by+xy [mm]\gdw[/mm]
> > bx<by.
>  
> Kannst du das noch ein Bisschen ausführen? Ich versteh's
> nicht ...


Die Ungleichung [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm]  muktiplizieren wir erst mit b+x durch und dann mit b+y.

Dann erhalten wir bx+xy <by+xy

kommst Du nun klar ?

Bezug
                                
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Zeigen, dass Formel gilt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980

Ja dankeschön :-)

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Zeigen, dass Formel gilt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> 2) [mm]\bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n}[/mm]

>

Ok, ich verwende deinen Hinweis, dass a, b, und n natürliche Zahlen sein sollen.

Dann geht das hier kinderleicht. Multipliziere die Ungleichung einmal mit [mm] 2^n [/mm] durch und der Beweis der Ungleichung steht so gut wie da.


Gruß, Diophant

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