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Zeitentwicklung harm. Oszi.: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:59 Di 24.11.2015
Autor: Boson

Aufgabe
Anfangszustand des harmonischen Oszillators ist gegeben durch die Wellenfunktion [mm] |\psi(0)>=c_n|n>+c_{n+1}|n+1> [/mm]
[mm] c_n [/mm] und [mm] c_{n+1} [/mm] sind komplexe Konstanten.
|n> und |n+1> sind (normierte) Eigenzustände des harmonischen Oszillators.

a) Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{n+1} [/mm] erfüllen, damit [mm] <\psi|\psi>=1 [/mm] gilt?

b) Wie lautet die Wellenfunktion zur Zeit t>0?

c) Berechnen Sie für [mm] |\psi(t)> [/mm] den Erwartungswert des Ortsoperators [mm] \hat{x}=\wurzel{\bruch{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a}+\hat{a}^\*). [/mm] Schreiben Sie das Ergebnis in der Form [mm] \overline{x}(t)=Acos(\omega t+\delta) [/mm] auf.

Hinweis: Verwenden Sie [mm] \hat{a}|n>=\wurzel{n}|n-1> [/mm] und [mm] \hat{a}^\*|n>=\wurzel{n+1}|n+1> [/mm]

d) Bestimmen Sie [mm] \overline{p}(t) [/mm]

Hallo, hier sind meine bisherigen Lösungen

a)

da |n> und |n+1> normierte Eigenzustände sind, gilt wegen der Orthogonalität der Eigenzustände [mm] =\delta_{nm}=1 [/mm] für n=m, sonst 0

[mm] <\psi|\psi>=c_n<\psi|n>+c_{n+1}<\psi|n+1>=c_nc_n^\*+c_nc_{n+1}^\*+c_{n1}c_n^\*+c_{n+1}c_{n+1}^\*=|c_n|^2+|c_{n+1}|^2=1 [/mm]

Kann man zu den Konstanten noch weitere Aussagen treffen?



b) der Zeitentwicklungsoperator lautet: [mm] \hat{U}=e^{-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}t} [/mm]

[mm] |\psi(t)>=e^{-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)}|\psi(t_0)> [/mm] für [mm] t\ge t_0 [/mm]

mit |n> Eigenzustände von [mm] \hat{H} [/mm] folgt [mm] \hat{H}|n>=E_n|n> [/mm]

[mm] e^{-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)}=1-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)+\bruch{1}{2}(-\bruch{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0))^2+...=1-\bruch{i}{\hbar}E_n(t-t_0)+\bruch{1}{2}(-\bruch{i}{\hbar}E_n(t-t_0))^2+...=e^{-\bruch{i}{\hbar}E_n(t-t_0)} [/mm]

Mit [mm] |\psi(t_0)>=\summe_{i=1}^{\infty}c_n|n> [/mm] folgt [mm] |\psi(t)>=\summe_{i=1}^{\infty}c_ne^{-\bruch{i}{\hbar}E_n(t-t_0)}|n> [/mm]

mit [mm] |\psi(0)>=c_n|n>+c_{n+1}|n+1> [/mm] und [mm] t_0=0 [/mm] folgt [mm] |\psi(t)>=c_ne^{-\bruch{i}{\hbar}E_nt}|n>+c_{n+1}e^{-\bruch{i}{\hbar}E_{n+1}t}|n+1> [/mm] mit [mm] E_n=\hbar\omega(n+1/2) [/mm]



c)

[mm] \hat{x}|\psi(t)>=\wurzel{\hbar/2m\omega}(e^{-\bruch{i}{\hbar}E_{n}t}c_n(\hat{a}|n>+\hat{a}^\*|n>)+e^{-\bruch{i}{\hbar}E_{n+1}t}c_{n+1}(\hat{a}|n+1>+\hat{a}^\*|n+1>)=\wurzel{\hbar/2m\omega}(e^{-\bruch{i}{\hbar}E_{n}t}c_n(\wurzel{n}|n-1>+\wurzel{n+1}|n+1>)+e^{-\bruch{i}{\hbar}E_{n+1}t}c_{n+1}(\wurzel{n}|n>+\wurzel{n+1}|n+2>) [/mm]

da |n> und |n+1> normierte Eigenzustände sind, gilt wegen der Orthogonalität der Eigenzustände [mm] =\delta_{nm}=1 [/mm] für n=m, sonst 0

[mm] <\psi(t)|\hat{x}|\psi(t)>=\wurzel{\hbar/2m\omega}\integral_{}^{}{(e^{\bruch{i}{\hbar}(E_{n+1}-E_{n})t}c_{n+1}^\*c_n\wurzel{n+1}+e^{\bruch{i}{\hbar}(E_{n}-E_{n+1})t}c_n^\*c_{n+1}\wurzel{n}) dt}=\wurzel{\hbar/2m\omega}\integral_{}^{}{(e^{-\bruch{i}{\hbar}(E_{n}-E_{n+1})t}c_{n+1}^\*c_n\wurzel{n+1}+e^{\bruch{i}{\hbar}(E_{n}-E_{n+1})t}c_n^\*c_{n+1}\wurzel{n}) dt} [/mm]

hier muss man doch nach dt integrieren?
an dieser Stelle komme ich nicht weiter, ist das ein spezielles Integral?



Vielen Dank für eure Hilfe!

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zeitentwicklung harm. Oszi.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 27.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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