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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Zufallsvariable
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Zufallsvariable: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mi 29.11.2017
Autor: Son

Aufgabe
Sei X : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Zufallsvar. mit W'dichte [mm] f_X [/mm] und [mm] h:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] s.m.wachsende, diff'bare Funktion.

Zu zeigen ist dass Z= h(X) eine Zufallsvariable ist.

Wie könnte ich diese Aussage zeigen?

Meine Ideen:
Also Zufallsvariable ist ja so definiert: [mm] (\Omega, \F) [/mm] und (P, [mm] \S) [/mm] Wahrscheinlichkeitsraum. [mm] X:\Omega [/mm] -> P Zufallsvariable falls X^-1(A) [mm] \in \F \forall [/mm] A [mm] \in \S. [/mm]
In der Aufgabe ist X bereits eine Zufallsvariable. Kann man nicht daraus sofort folgern dass Z eine Zufallsvariable ist?

        
Bezug
Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mi 29.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also ihr hattet bestimmt eine der folgenden Aussagen:

1.) Jede monotone Funktion ist meßbar
2.) Jede stetige Funktion ist meßbar

$h$ ist sowohl stetig als auch monoton und damit insbesondere meßbar.
X ist auch meßbar.

Falls du dich über den Begriff wunderst: Meßbarkeit einer Abbildung ist bei dir die Definition einer ZV.

Also ist $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ebenfalls eine ZV von [mm] $\IR \to \IR$. [/mm]

Zeige nun rein formal: [mm] $Z^{-1}(A) \in \mathcal{F}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 29.11.2017
Autor: Son

Seinen [mm] (\Omega,F) [/mm] und [mm] (\IR,S) [/mm] Ereignisräume. Es gilt [mm] X^{-1}(A) \in [/mm] F [mm] \forall A\in [/mm] S und [mm] X\in [/mm] S nach Definition aus der Vorlesung ->(Monotonie) [mm] Z^{-1}=h^{-1}(X) \in [/mm] R, da [mm] h:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] -> [mm] h^{-1}(X) \in [/mm] S [mm] \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S. Also g ist Zufallsvariable da [mm] Z^{-1}=h^{-1}(X) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Mi 29.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo

Das sieht soweit gut aus

Marius

Bezug
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