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Zusammenfassen von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Do 25.10.2007
Autor: Paul1985

Aufgabe
Fasse zusammen:

[mm] \bruch{3n+6}{8n+8} [/mm] - [mm] \bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n} [/mm]

Bei einer Aufgabe bin ich auf das Zwischenergebnis oben gekommen.
Nun versuche ich dies alles zusammen zu fassen bzw. so kurz zu schreiben wie es geht.

Kann mir bitte jemand helfen?

Ein mögliches Ergebnis kann  [mm] \bruch{n+3}{2n+4} [/mm] sein.
Dies ist nämlich das "Ergebnis" wenn ich mich versuche von der "anderen" seite an die Lösung heranzutasten...

Dennoch..
Wie fasse ich das oben zusammen :)

        
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Zusammenfassen von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Do 25.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Paul,

du musst nen gemeinsamen Nenner suchen, also gleichnamig machen.

Aber nicht direkt drauflosmultiplizieren, sondern zuerst "geschickt" umformen:

[mm] $\bruch{3n+6}{8n+8}-\bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n}=\bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)}-\bruch{n+2}{2n^{2}\cdot{}(n+1)}+ \bruch{n+2}{8n\cdot{}(n+1)}$ [/mm]

Nun kannst du bestimmt bequem einen Hauptnenner bestimmen...

Gruß

schachuzipus

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Zusammenfassen von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:47 Do 25.10.2007
Autor: Paul1985

Hm... Ich komm gerade nicht weiter...

Kürzen ist hier nicht möglich ?

z.B. aus

[mm] \bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)} [/mm]

[mm] =\bruch{3\cdot{}(n+1)}{8} [/mm]

oder darf ich das nicht ?

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Zusammenfassen von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Do 25.10.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

> Hm... Ich komm gerade nicht weiter...
>
> Kürzen ist hier nicht möglich ?
>  
> z.B. aus
>  
> [mm]\bruch{3\cdot{}(n+2)}{8\cdot{}(n+1)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{3\cdot{}(n+1)}{8}[/mm]

[schock] Nein, bloß nicht !!

> oder darf ich das nicht ?

NEIN

Selbst wenn du die Brüche richtig erweiterst und zusammenfasst, kommst du nicht auf deine obige Lösung "von der anderen Seite", was auch immer das sein mag ;-)

Da scheint also in den vorherigen Rechnungen der Wurm drin zu sein ....

LG

schachuzipus

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Zusammenfassen von Brüchen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:14 Do 25.10.2007
Autor: Paul1985

Ou. Entschuldige...
Habs eben mit Werten eingesetzt (vor und nach dem Kürzungsversuch)....  :)


Werde mal morgen meinen ganzen Rechenweg hier posten.. auch wenn der ein wenig zuuuu lang ist :)

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Zusammenfassen von Brüchen: => Vollständige Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 Do 25.10.2007
Autor: Paul1985

Aufgabe
Vollständige Induktion für:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm]

oder poste auch jetzt.... :D

[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm]

[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm] * ( 1 - [mm] \bruch{1}{(n+2)^2}) [/mm]

= [mm] \bruch{n+2}{2n+2} [/mm] * ( 1 - [mm] \bruch{1}{n^2+4n+4}) [/mm]

= [mm] \bruch{n+2}{2n+2} [/mm] * ( [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4n}) [/mm]

$ [mm] \bruch{n+2}{2n^{3}+2n^{2}}+ \bruch{n+2}{8n^{2}+8n} [/mm] $


Sooo.. Das ist mein erster Schritt...
Habe es so gelernt, dass ich es erstmal ein n+1 hinten "dranhänge" und zusammenfasse....

Dann nehme ich die Ausgangsgleichung

[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{2(n+1)} [/mm]

und setze überall für n , (n+1) ein....

[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{(k+1)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+3}{2(n+4)} [/mm]

und hätte ich nun irgendwo nen Fehler nicht gemacht müsste das gleiche rauskommen..... :)


Vllt. hab ichs auch viel zu umständlich oder zu lang gemacht.. aber so meine ich die vollst. Ind. zu verstehen :)

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Zusammenfassen von Brüchen: Richtig ersetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Do 25.10.2007
Autor: comix

Falsche Ersetzung auf der linken Seite: über dem Produktzeichen steht immer noch n.
rechte Seite: Im Nenner hast Du n durch n+3 ersetzt.

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Zusammenfassen von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Do 25.10.2007
Autor: Paul1985

Hallo,
ich habe mich vertippt.
Die letzten beiden Produktzeichen sollen als obere grenze natürlich ebenfalls n+1 haben...

Zur rechten seite... Im Zähler habe ich ja am anfang mit n = 1

(n+2) ... mit n+1 folgt :  (n+1)+1)  = n+3...
:)

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Zusammenfassen von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Fr 26.10.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo Paul1985,


Gehen wir doch mal von diesem Zwischenschritt aus:


> [mm]\prod_{k=1}^{n+1}{\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)}=\frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)}=(\*)[/mm]


Nun gilt:


[mm](\*)=\frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\frac{(n+2)^2-1^2}{(n+2)^2}} = \frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}}[/mm]


So, jetzt nur noch Kürzen und der Beweis ist erbracht.



Viele Grüße
Karl




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Zusammenfassen von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Fr 26.10.2007
Autor: Paul1985

Kannst Du mir bitte Schritt für Schritt erklären, wie Du die Klammer mit der -1 umformst?

Kann dem leider nicht folgen..

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Zusammenfassen von Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Fr 26.10.2007
Autor: VornameName

Hallo Paul1985,

Welche Klammer meint du? Falls es dir um [mm](n+2)^2-1[/mm] geht, so denke an die 3te binomische Formel.

Gruß
V.N.



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Bezug
Zusammenfassen von Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Fr 26.10.2007
Autor: Paul1985

[mm] \frac{n+2}{2(n+1)}\cdot{\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)} [/mm]

Wie formst Du die zweite Klammer um? (Schritt für Schritt)

Bezug
                                                                
Bezug
Zusammenfassen von Brüchen: siehe unten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Fr 26.10.2007
Autor: Loddar

.

[guckstduhier]  .  .  .  .  meine Antwort


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Zusammenfassen von Brüchen: erweitert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Fr 26.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Paul!


Oder meinst Du die Zusammenfassung in dieser Klammer [mm] $\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)$ [/mm] ?
Hier wurde die $1_$ auf den Hauptnenner [mm] $(n+2)^2$ [/mm] erweitert:

[mm] $$1-\frac{1}{(n+2)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\blue{(n+2)^2}}{\blue{(n+2)^2}}-\frac{1}{(n+2)^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{(n+2)^2-1}{(n+2)^2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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