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Zusammenhängede Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Hallo zusammen,

Frage zu zusammenhängenden Mengen.
"Eine Menge ist zusammenhängend, wenn man sie nicht als Vereinigung zweier disjunkter, offener und nichtleerer Mengen schreiben kann."

Die reellen Zahlen sind anscheinend zusammenhängend, aber wie kann man sie als obige Vereinigung darstellen?

Die Vereinigung zweier offener, disjunkter Intervalle zum Beispiel lässt doch zwangsweise mindestens einen Punkt aus, wie zB. bei
[mm] (-\infty, [/mm] 1[ und [mm] ]1,\infty) [/mm]

Gruß
Paivren

        
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Zusammenhängede Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Oh, ich merke selber meinen Fehler... ich habe das "nicht" komplett außer Acht gelassen.

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Zusammenhängede Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Neue Frage:

Wie sieht es mit [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] aus? Ich würde sagen, diese Menge ist nicht zusammenhängend, ich kann ja schreiben [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] = [mm] (\IR [/mm] \ [mm] \IZ) \backslash [/mm] ]0,1[ [mm] \cup [/mm] ]0,1[.

Und mit [mm] \IR^{2} [/mm] \ [mm] \IZ^{2}? [/mm] Hier würde ich sagen, dass diese Menge zusammenhängend ist. Analog zum ersten Fall könnte ich Versuchen, ein offenes Quadrat aus der Ebene zu schneiden, mit den Eckpunkten bei benachbarten Zahlen aus [mm] \IZ^{2}. [/mm] Aber wenn das Komplement davon offen sein soll, bekomme ich als Vereinigung nicht wieder die ganze Ebene heraus.


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Zusammenhängede Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Do 27.07.2017
Autor: donquijote


> Neue Frage:
>  
> Wie sieht es mit [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ[/mm] aus? Ich würde sagen, diese
> Menge ist nicht zusammenhängend, ich kann ja schreiben [mm]\IR[/mm]
> \ [mm]\IZ[/mm] = [mm](\IR[/mm] \ [mm]\IZ) \backslash[/mm] ]0,1[ [mm]\cup[/mm] ]0,1[.
>  
> Und mit [mm]\IR^{2}[/mm] \ [mm]\IZ^{2}?[/mm] Hier würde ich sagen, dass
> diese Menge zusammenhängend ist. Analog zum ersten Fall
> könnte ich Versuchen, ein offenes Quadrat aus der Ebene zu
> schneiden, mit den Eckpunkten bei benachbarten Zahlen aus
> [mm]\IZ^{2}.[/mm] Aber wenn das Komplement davon offen sein soll,
> bekomme ich als Vereinigung nicht wieder die ganze Ebene
> heraus.
>  

Hallo,
das stimmt, [mm]M=\IR^2\setminus\IZ^2[/mm] ist zusammenhängend, was sich am einfachsten dadurch begründen lässt, indem man zeigt, dass M wegzusammenhängend ist, d.h. zu [mm]a,b\in M[/mm] gibt es eine stetige Abbildung [mm]\gamma:[0,1]\to M[/mm] mit [mm]\gamma(0)=a[/mm] und [mm]\gamma(1)=b[/mm].
Jede wegzusammenhängende Menge ist zusammenhängend, aber nicht umgekehrt.
Somit ist jeder Versuch, M ist Vereinigung disjunkter offener Mengen darzustellen, zum Scheitern verurteilt.


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Zusammenhängede Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Vielen Dank,

ja das mit dem wegzusammenhängend kenne ich, aber ich wollte es mit unserer gegebenen Definition nachvollziehen.
Danke für die Bestätigung :)

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Zusammenhängede Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 27.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Die reellen Zahlen sind anscheinend zusammenhängend, aber wie kann man sie als obige Vereinigung darstellen?

sie sind ja eben gerade zusammenhängend, weil man sie nicht als Vereinigung disjunkter offener Intervalle darstellen kann.

> Die Vereinigung zweier offener, disjunkter Intervalle zum Beispiel lässt doch zwangsweise mindestens einen Punkt aus

Genau so ist es.


Gruß, Diophant

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Zusammenhängede Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Do 27.07.2017
Autor: Paivren

Hallo Diophant,

danke für die Antwort, ist mir aber beim nochmaligen Lesen auch direkt aufgefallen. Wie ist es mit meiner weitergehenden Frage :)?

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