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Zwei Integrale: Richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 03.02.2017
Autor: tobi91_nds

Aufgabe
Berechne folgende zwei Integrale:
[mm] $lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx$ [/mm]
[mm] $lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx$ [/mm]

Diese beiden Integrale sind sehr ähnlich. Ich glaube, dass die in einem gemeinsamen Thread deswegen gut aufgehoben sind. Falls nicht: Sorry, meine Absicht war, das ganze übersichtlicher zu gestalten ;-)


Zum ersten Integral: [mm] $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $e^{x} e^{-x}=1$. [/mm] Die Frage ist: Darf ich in einem uneigentlichen Lebesgue-Integral den Limes einfach so in das Integral reinziehen?
[mm] $lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty e^{x}\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty [/mm] 1dx = [mm] \infty$ [/mm]


Das zweite Integral sieht einfacher aus. [mm] $\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x} [/mm] < [mm] 2e^{-x} =:g\left(x\right) \forall n\in\mathbb{N}$ [/mm] Mit dem Satz über dominierte konvergenz von Lebesgue ergibt sich dann:
[mm] $lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^1lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^1e^{-x}\cdot e^{-x}dx [/mm] = [mm] \int_0^1e^{-x}\cdot e^{-2x}dx [/mm] = [mm] \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{x=0}^{x=1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left(1-e^{-2}\right)$ [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Zwei Integrale: Richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Fr 03.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Frage ist: Darf ich in einem uneigentlichen Lebesgue-Integral den Limes einfach so in das Integral reinziehen?

Das ist hier die Frage!

> Mit dem Satz über dominierte konvergenz von Lebesgue ergibt sich dann:

Du kennst also Sätze, wann du Integration und Grenzwertbildung vertauschen darfst.
Warum überprüfst du nicht, ob diese hier gegeben sind?

Welchen Satz neben dem von Lebesgue kennst du denn noch?

edit: Und spaßeshalber kannst du zur Kontrolle die Integrale mal mit partieller Integration berechnen :-)

Gruß,
Gono

Bezug
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