matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitZwischenwerteig.,sin(1/x)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Zwischenwerteig.,sin(1/x)
Zwischenwerteig.,sin(1/x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die Zwischenwerteigenschaft besitzt.
$ [mm] f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases} [/mm] $

Hallo zusammen,

die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft an 0 mach mir Probleme!

Für x [mm] \not=0 [/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind für x [mm] \not=0. [/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist wieder stetig.
Für x=0 ist f unstetig da:
[mm] r_n [/mm] := [mm] \frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} r_n [/mm] =0
[mm] lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty} [/mm] sin(2 [mm] \pi [/mm] n + [mm] \pi/2)= [/mm] sin [mm] (\pi/2) [/mm] =1 [mm] \not= [/mm] 0= f(0)

ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und zu jeden c zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
Da f für [mm] x\not= [/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für x=0.

Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und f(b) ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] existiert mit [mm] f(x_0)=0. [/mm] Oder ist etwas anderes zu zeigen?

LG,
sissi


        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 13.12.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass f unstetig ist aber die
> Zwischenwerteigenschaft besitzt.
>  [mm]f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> die Unstetigkeit ist klar, aber die Zwischenwerteigenschaft
> an 0 mach mir Probleme!
>  
> Für x [mm]\not=0[/mm] ist f stetig da sin(x) und 1/x stetig sind
> für x [mm]\not=0.[/mm] Die Komposition von stetigen Funktionne ist
> wieder stetig.
>  Für x=0 ist f unstetig da:
>   [mm]r_n[/mm] := [mm]\frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> [mm]lim_{n->\infty} r_n[/mm] =0
>  [mm]lim_{n->\infty} f(r_n)= lim_{n->\infty}[/mm] sin(2 [mm]\pi[/mm] n +
> [mm]\pi/2)=[/mm] sin [mm](\pi/2)[/mm] =1 [mm]\not=[/mm] 0= f(0)
>  
> ZZ.: Zu jeden Intervall [a,b] [mm]\subseteq \IR[/mm] und zu jeden c
> zwischen f(a) und f(b)  =>  [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b] mit

> [mm]f(x_0)=c[/mm]
>  Da f für [mm]x\not=[/mm] 0 stetig ist, genügt f hier auch der
> Zwischenwerteigenschaft nach Satz in der Vorlesung.
>  Noch zu zeigen bleibt die Zwischenwerteigenschaft für
> x=0.
>  
> Ich weiß hier gar nicht so recht, was ich zeigen muss?
>  Dass für jedes Intervall[a,b] mit 0 zwischen f(a) und
> f(b) ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] existiert mit [mm]f(x_0)=0.[/mm] Oder ist
> etwas anderes zu zeigen?
>  
> LG,
>  sissi
>  


Wegen |sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] f(\IR) \subseteq [/mm] [-1,1].

Zeigen sollst Du [mm] f(\IR) [/mm] =[-1,1].

Sei also [mm] y_0 \in [/mm] [-1,1].

Fall 1: [mm] y_0 [/mm] =0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=0. [/mm]

Fall 2: [mm] y_0 \ne [/mm] 0. Zeige: es gibt ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] f(x_0)=y_0. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:49 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Hallo Fred,
Danke für die Antwort.
Trotz häufigen Lesens&Durchdenken deiner Antwort bin ich nicht darauf gekommen, wieso das die Zwischenwerteigenschaft ist.

Es ist doch zuzeigen:
Für alle Intervalle [a,b] [mm] \subseteq \IR [/mm] und [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] [f(a), [mm] f(b)]\subseteq [/mm] [-1,1]: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0)=c [/mm]
bzw.: [f(a), f(b)] [mm] \subseteq [/mm] f([a,b])

Hier ist ja ein [mm] x_0 [/mm] gesucht, dass in [mm] [a,b]\subseteq \IR [/mm] liegt. Aber du sucht eines was in [mm] \IR [/mm] liegt, dass muss ja nicht unbedingt in [a,b] liegen?

-) [mm] c\not= [/mm] 0 -> f stetig und deshalb Zwischenwertseigenschaft
-) c=0
Sei A:= [mm] \{\{ \frac{1}{k \pi} | k \in \IZ\} \cup \{0\}\} [/mm]
Ist a [mm] \le [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0 so wähle [mm] x_0 [/mm] := 0
Deshalb betrachte ich die Fälle a,b <0 bzw. a,b >0
Jetzt ist doch zz, dass in jedem solchen Intervall [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: \frac{1}{k \pi} \in [/mm] [a,b] oder ?


LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Zwischenwerteig.,sin(1/x): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 11m 2. ChopSuey
SVektoren/Vektor durch Zahl
Status vor 8h 06m 2. Al-Chwarizmi
DiffGlGew/Erstes Integral
Status vor 9h 15m 9. Diophant
UStoc/Stochastische Unabhängigkeit
Status vor 11h 30m 4. Al-Chwarizmi
UAlgGRK/Menge in der Potenz
Status vor 20h 01m 7. Diophant
STrigoFktn/cos2(x)=sin2(2x)
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]