Zyklendarstellung+Vorzeichen der Permutation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 14.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo...
ich habe folgende Aufgabenstellung zu überwältigen. Ich hoffe jemand kann mir einige Tipps dazu geben.
***Finden Sie die Zyklendarstellung und das Vorzeichen der Permutationen
(a)
|1 2 3 4 5 6| -1
|1 5 4 3 2 6|
(b)
|1 2 3 4 5 6 7 8 9|
|2 1 7 4 8 6 3 9 5|
(c)
|1 2 3 4 5 6 7|
|2 3 4 5 1 6 7|
verknüpft
|1 2 3 4 5 6 7|
|1 2 3 4 6 7 5|
(Eigentlich stehen die nebeneinander und nicht untereinander aber
ich konnte das nicht so schreiben:(
Für Tipps zur Vorgehensweise wäre ich sehr dankbar.
Meine bisherigen Ergebnisse:
zu (A):
Zyklen: (2,5) (3,4)
Vorzeichen:
Ich weiss dass
gerade Anzahl von Elementen in Zyklen bedeutet :minus
und ungerade Anzahl von Elementen bedeutet :plus
Aber wie schreibe ich das?
zu (B):
Zyklen: (1,2) (3,7) (5,8,9)
Vorzeichen: wie bei (A)
zu (C): ich kann mit der verknüpfung nichts anfangen: Gibt es da eine Formel wie man die verknüpft?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
willkommen im MatheRaum! 
> Hallo...
>
> ich habe folgende Aufgabenstellung zu überwältigen. Ich
Genau! Einfach der Aufgabenstellung die Pistole an den Kopf halten, die Lösung wird sich dann schon ergeben...
> (a)
>
> |1 2 3 4 5 6| -1
> |1 5 4 3 2 6|
(Woher kommt die -1?)
>
> (b)
>
> |1 2 3 4 5 6 7 8 9|
> |2 1 7 4 8 6 3 9 5|
>
> (c)
>
> |1 2 3 4 5 6 7|
> |2 3 4 5 1 6 7|
>
> verknüpft
>
> |1 2 3 4 5 6 7|
> |1 2 3 4 6 7 5|
> Für Tipps zur Vorgehensweise wäre ich sehr dankbar.
Du hast die Aufgaben ja schon fast richtig gelöst, zur Sicherheit sage ich dir aber, wie ich es mache:
Ich sehe mir nacheinander die Zahlen [mm] 1,\ldots,6 [/mm] an und notiere die Zyklen:
[mm] 1\to1
[/mm]
[mm] 2\to5\to2
[/mm]
[mm] 3\to4\to3
[/mm]
4 s.o.
5 s.o.
[mm] 6\to6
[/mm]
Also ergibt sich die Zyklendarstellung:
[mm]\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
1&5&4&3&2&6
\end{pmatrix}=(2,5)(3,4)[/mm]
> Meine bisherigen Ergebnisse:
>
> zu (A):
>
> Zyklen: (2,5) (3,4)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vorzeichen:
> Ich weiss dass
> gerade Anzahl von Elementen in Zyklen bedeutet :minus
> und ungerade Anzahl von Elementen bedeutet :plus
Ja, das ist das Vorzeichen eines Zyklus, aber nicht der gesamten Permutation. Dieses Vorzeichen ergibt sich dann aus der Multiplikation der Vorzeichen aller Zyklen.
> Aber wie schreibe ich das?
Du könntest schreiben:
[mm]\operatorname{sgn} \begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
1&5&4&3&2&6
\end{pmatrix}=\operatorname{sgn}(2,5)*\operatorname{sgn}(3,4)=(-1)*(-1)=+1[/mm]
> zu (B):
>
> Zyklen: (1,2) (3,7) (5,8,9)
>
> Vorzeichen: wie bei (A)
Ja, wegen:
[mm]\operatorname{sgn}(1,2) (3,7) (5,8,9)=\operatorname{sgn}(1,2)*\operatorname{sgn}(3,7)*\operatorname{sgn}(5,8,9)=(-1)*(-1)*(+1)[/mm]
Übrigens heißt ein Zyklus der Länge 2 eine Transposition, und jeder Zyklus bzw. jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen geschrieben werden.
Das Vorzeichen einer Permutation ist also positiv, wenn sich eine Permutation als Produkt einer geraden Anzahl Transpositionen darstellen läßt, sonst negativ.
> zu (C): ich kann mit der verknüpfung nichts anfangen: Gibt
> es da eine Formel wie man die verknüpft?
Nicht wirklich.
Gemeint ist ja die Hintereinanderausführung der beiden Permutationen, das Ergebnis ist wieder eine Permutation.
[mm]\begin{pmatrix}
\blue{1}&2&3&4&5&6&7\\
\red{2}&3&4&5&1&6&7
\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7\\
\blue{1}&2&3&4&6&7&5
\end{pmatrix}[/mm]
Überlegen wir uns für jedes Element, wohin es abgebildet wird:
[mm] 1\to\blue{1}\to\red{2}
[/mm]
[mm] 2\to2\to3
[/mm]
[mm] 3\to3\to4
[/mm]
[mm] 4\to4\to5
[/mm]
[mm] 5\to6\to6
[/mm]
[mm] 6\to7\to7
[/mm]
[mm] 7\to5\to1
[/mm]
Es wird also zunächst die 1 auf die blaue [mm] \blue{1} [/mm] der rechten Permutation abgebildet, und dann durch die linke Permutation auf die rote [mm] $\red{2}$.
[/mm]
Das Ergebnis ist folgende Permutation:
[mm]\begin{pmatrix}
\blue{1}&2&3&4&5&6&7\\
\red{2}&3&4&5&1&6&7
\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7\\
\blue{1}&2&3&4&6&7&5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7\\
\red{2}&3&4&5&6&7&1
\end{pmatrix}[/mm]
Von dieser Permutation kannst du dann die Zyklenschreibweise und das Vorzeichen finden.
Bei Unklarheiten frage einfach weiter nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Fr 14.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
also erstmal vielen Dank!!!
Ich habe eigentlich nicht gedacht, dass jemand eine
Antwort schreibt:)
Dieses Forum funktioniert ja wirklich..
Bin ich froh ein gutes Mathe-Forum gefunden zu haben.
also bei (a)
ist es quasi als das Inverse dargestellt,
was mich auch nachdenklich macht: Ist es egal, kann
ich trotz dieser -1 (Inverse.Zeichen) einfach die Zyklen
ablesen oder muss ich dieses -1 wegkriegen?
Zu (C) muss ich sagen...
du kannst super erklären. Ich habe soviel nachgeschlagen,
aber es wurde mir nicht so klar wie jetzt.
WOW
Danke!!
Nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol!
> also erstmal vielen Dank!!!
> Ich habe eigentlich nicht gedacht, dass jemand eine
> Antwort schreibt:)
> Dieses Forum funktioniert ja wirklich..
Ja, klar!
> also bei (a)
>
> ist es quasi als das Inverse dargestellt,
> was mich auch nachdenklich macht: Ist es egal, kann
> ich trotz dieser -1 (Inverse.Zeichen) einfach die Zyklen
> ablesen oder muss ich dieses -1 wegkriegen?
Ja, das hätte ich mir auch denken können/sollen, dass du mit -1 die inverse Abbildung meinst; ich hatte eher darauf getippt, dass es deine Antwort auf die Vorzeichenfrage war.
Die -1 darf natürlich nicht einfach ignoriert werden, wir sollten wenigstens erläutern, warum wir sie bei der Vorzeichenfrage keine Rolle spielt.
Es gilt für das Produkt zweier Permutationen [mm] \sigma [/mm] und [mm] $\tau$:
[/mm]
[mm] $\operatorname{sgn}\sigma\circ\tau=\operatorname{sgn}\sigma*\operatorname{sgn}\tau$
[/mm]
Für das Produkt einer Permutation [mm] \sigma [/mm] mit ihrem Inversen [mm] \sigma^{-1} [/mm] folglich:
[mm] $\operatorname{sgn}\sigma\circ\sigma^{-1}=\operatorname{sgn}\sigma*\operatorname{sgn}\sigma^{-1}$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $\sigma\circ\sigma^{-1}=\operatorname{id}$, [/mm] woraus sich folgende Gleichungskette ergibt:
[mm] $1=\operatorname{sgn}\operatorname{id}=\operatorname{sgn}\sigma\circ\sigma^{-1}=\operatorname{sgn}\sigma*\operatorname{sgn}\sigma^{-1}$
[/mm]
Also folgt [mm] $\operatorname{sgn}\sigma=\operatorname{sgn}\sigma^{-1}$.
[/mm]
Somit muß ich meine (und du deine) letzte Antwort nicht korrigieren
Übrigens wäre es auch kein kompliziertes Unterfangen gewesen, eben die inverse Abbildung aufzustellen:
[mm]\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
1&5&4&3&2&6
\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
Zeilen vertauchen:
[mm]=\begin{pmatrix}
1&5&4&3&2&6\\
1&2&3&4&5&6
\end{pmatrix}[/mm]
und dann Spalten so vertauschen, dass die Zahlen der ersten Zeile wieder in Reihenfolge sind:
[mm]=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
1&5&4&3&2&6
\end{pmatrix}[/mm]
> Zu (C) muss ich sagen...
> du kannst super erklären. Ich habe soviel
> nachgeschlagen,
> aber es wurde mir nicht so klar wie jetzt.
Das freut mich
Viele Grüße,
Marc
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