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Forum "Analysis des R1" - abbildungen verknüpfen
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abbildungen verknüpfen: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 25.04.2015
Autor: forestdumb

Aufgabe
überprüfen sie jeweils,ob die abbildungen $f$ und $g$ wohldefiniert sind und ob die Abbildung $ [mm] f\circ [/mm] g$ definiert ist. Wenn ja,geben sie sie an.Wenn nicht,geben sie eine Menge M an , für die $f [mm] \circ [/mm] (g|M)$ definiert ist. (Denken sie daran,alle verwendten Behauptungen zu begründen.)

$a) f [mm] :\IR_{+} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x(1-x)$
[mm] $g:\IN \to \IQ, [/mm] x [mm] \mapsto\frac{1}{x}$ [/mm]

$b) f [mm] :\IR_{+} \to \IR_{+}, [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x+1}$ [/mm]
[mm] $g:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x+1)(x-1)$

$c) f: [mm] \IR\times \IR \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y$
    $g: [mm] \IR \to \IR \times \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x,1-x)$

hi

meine frage vorneweg ist, ich kenn die definition von wohldefiniert heit , aber wie zeige ich das jetzt beweis technisch?

        
Bezug
abbildungen verknüpfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 25.04.2015
Autor: Ladon

Wie definierst du denn "wohldefiniert"?
Eigentlich musst du ja nur zeigen, dass für eine gegebene Funktion $f $
$$ [mm] x=y\Rightarrow [/mm] f (x)=f (y) $$ gilt.
Das zeigt Wohldefiniertheit.

MfG
Ladon

Bezug
                
Bezug
abbildungen verknüpfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Sa 25.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Ladon,

> Wie definierst du denn "wohldefiniert"?
>  Eigentlich musst du ja nur zeigen, dass für eine gegebene
> Funktion [mm]f[/mm]
>  [mm]x=y\Rightarrow f (x)=f (y)[/mm] gilt.
>  Das zeigt Wohldefiniertheit.

ja, wobei hier $x,y [mm] \in D_f$ [/mm] mit versteckt wird. Ich würde das Ganze aber erstmal
vielleicht mit

    []Definition 1.6, 2.

machen - es kommt auch ein wenig darauf an, wie der Begriff *Abbildung*
definiert wurde.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
abbildungen verknüpfen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:07 Sa 25.04.2015
Autor: forestdumb

$ a) f [mm] :\IR_{+} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x(1-x) $

$x=y [mm] \Rightarrow [/mm] x(1-x)=y(1-y) da x =y gleich sind heißt das x(1-x)=x(1-x)$

also ist die abbildung wohldefiniert

$ [mm] g:\IN \to \IQ, [/mm] x [mm] \mapsto\frac{1}{x} [/mm] $

$ x=Y [mm] \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \gdw [/mm] x=y$ ist also auch wohldefiniert.

$f [mm] \circ [/mm] g (x)= f(g(x))= [mm] f(\frac{1}{x})= \frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})$ [/mm]

also$ f [mm] \circ [/mm] g : [mm] \IN \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})$ [/mm]

jedoch muss der [mm] $W_{g}$ [/mm] angepasst werden auf $g: [mm] \IN \to \IQ_{+}$ [/mm]

da [mm] $\IQ_{+} \subset \IR_{+}$ [/mm]

b)

$ f [mm] :\IR_{+} \to \IR_{+}, [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x+1} [/mm] $

ist wohldefiniert da  x=y [mm] \Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{y+1} \gdw [/mm] x+1=y+1 [mm] \gdw [/mm] x=y

$ [mm] g:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x+1)(x-1) x=y [mm] \Rightarrow x^2-1=y^2-1 \gdw [/mm] |x|=|y|$ ist auch wohldefiniert

$f( [mm] (x+1)(x-1))=\sqrt{(x+1)(x-1)+1}$ [/mm]

[mm] $f\circ [/mm] g : [mm] \IR \to \IR_{+} x\mapsto \sqrt{x^2-1+1}= [/mm] |x|$

jedoch muss [mm] $W_{g}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{+}$ [/mm] eingeschränkt werden

$ c) f: [mm] \IR\times \IR \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y $

[mm] (x_1,x_2)=(y_1,y_2) \Rightarrow x_1+y_1=x_2+y_2,dass [/mm] heißt die abbildung ist wohldefiniert

$ g: [mm] \IR \to \IR \times \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x,1-x) $

$x= y [mm] \Rightarrow [/mm] (x,1-x)=(y,1-y) $
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$ abbildung ist wohldefiniert

[mm] $f\circ [/mm] g : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 1 $

Bezug
                
Bezug
abbildungen verknüpfen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Mo 27.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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