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Äquivalenz von Normen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Di 28.04.2015
Autor: riju

Aufgabe
Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten Vektorraum [mm] (V, \parallel \parallel) [/mm] alle Normen zu einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung: [mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}| [/mm]

Also ich habe bis jetzt folgendes:
zu zeigen: [mm] \exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I} [/mm]

als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
[mm] span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\} [/mm]

Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen soll.
Hat vllt jemand eine Idee?

Vielen Dank
riju

        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Di 28.04.2015
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten
> Vektorraum [mm](V, \parallel \parallel)[/mm] alle Normen zu
> einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung:
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}|[/mm]

Du darst also diese Beziehung benutzen (mit einem nur von [mm] \vec{u}_{1},...,\vec{u}_{n} [/mm] abhängigen c>0).


>  
> Also ich habe bis jetzt folgendes:
>  zu zeigen: [mm]\exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I}[/mm]
>  
> als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
>  [mm]span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\}[/mm]
>  
> Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen
> soll.
>  Hat vllt jemand eine Idee?


Ich lasse die bekloppten Pfeile weg !

Sei [mm] \{u_1,...,u_n\} [/mm] eine Basis von V. Ist x [mm] \in [/mm] V, so ex. eindeutig bestimmte [mm] a_1,...,a_n \in \IK [/mm] mit [mm] x=a_1u_1+...+a_nu_n. [/mm]

Setze [mm] ||x||_0:=|a_1|+...+|a_n|. [/mm]

Zeige: [mm] ||*||_0 [/mm] ist eine Norm auf V.

Aus obiger Beziehung folgt dann:

  (1) [mm] c||x||_0 \le [/mm] ||x||  für alle x [mm] \in [/mm] V


Weiter ist

  [mm] ||x||=||a_1u_1+...+a_nu_n|| \le ||a_1|*||u_1||+...+|a_n|*||u_n|| \le C||x||_0, [/mm]

wobei C:=max [mm] \{ ||u_k||: k=1,...,n\}. [/mm] Somit

  (2) ||x|| [mm] \le C||x||_0 [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] V.


(1) und (2) zeigen:  ||*|| und [mm] ||*||_0 [/mm] sind äquivalent.

Ist nun [mm] ||*||_1 [/mm] eine weitere Norm auf V, so zeige:

     ||*|| und [mm] ||*||_1 [/mm] sind äquivalent.

FRED

>  
> Vielen Dank
>  riju


Bezug
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