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Äquivalenzrelationen/ -klassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Mi 01.11.2017
Autor: Flauschling

Aufgabe
Es sei f : R → Z die Funktion, wobei f(x), für x ∈ R, die größte ganze Zahl ist, die
kleiner gleich x ist, d.h.
f(x) := max{k ∈ Z | k ≤ x}, x ∈ R.

Man zeige, dass die Relation ∼ auf R²:

x ∼ y, wenn f(x) = f(y), x, y ∈ R,

eine Äquivalenzrelation auf R definiert, und man bestimme die zugehörige Beschreibung
von R als die Vereinigung der Äquivalenzklassen.

Hallo,

man muss ja zeigen, dass diese Funktion eine Äquivalenzrelation ist. Wie man so etwas beweist (Reflexivität/ Symmetrie/ Transitivität) ist mir geläufig, allerdings finde ich keine "genaue Funktion zum Bearbeiten", würde annehmen, dass man
f(x) := max{k ∈ Z | k ≤ x}, x ∈ R benutzt, aber wie genau bestimme ich damit beispielsweise die Reflexivität (x~x)?

Bei den Äquivalenzklassen dieser Aufgabe fehlt mir bisher auch jeglicher Ansatz. Vielleicht hat da noch jmd einen Vorschlag?

        
Bezug
Äquivalenzrelationen/ -klassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mi 01.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Es sei f : R → Z die Funktion, wobei f(x), für x ∈ R,
> die größte ganze Zahl ist, die
> kleiner gleich x ist, d.h.
> f(x) := max{k ∈ Z | k ≤ x}, x ∈ R.

>

> Man zeige, dass die Relation ∼ auf R²:

>

> x ∼ y, wenn f(x) = f(y), x, y ∈ R,

>

> eine Äquivalenzrelation auf R definiert, und man bestimme
> die zugehörige Beschreibung
> von R als die Vereinigung der Äquivalenzklassen.
> Hallo,

>

> man muss ja zeigen, dass diese Funktion eine
> Äquivalenzrelation ist. Wie man so etwas beweist
> (Reflexivität/ Symmetrie/ Transitivität) ist mir
> geläufig, allerdings finde ich keine "genaue Funktion zum
> Bearbeiten", würde annehmen, dass man
> f(x) := max{k ∈ Z | k ≤ x}, x ∈ R benutzt, aber wie
> genau bestimme ich damit beispielsweise die Reflexivität
> (x~x)?

Du solltest dir ganz nebenbei nochmal den Funktionsbegriff klar machen. Du suchst nicht nach einer neuen 'Funktion zum Bearbeiten' sondern nach einer bequemeren Darstellung der gegebenen Funktion. Sie wird manchmal auch als floor-Funktion bezeichnet und man kann sie mit der sog. []Gauß-Klammer darstellen:

[mm]f(x)= \left \lfloor x \right \rfloor[/mm]

So oder so: die Reflexivität musst du irgendwie begründen. Sie folgt allerdings schon aus der oben von dir verwendeten Definition der floor-Funktion. Zweimal die gleiche Zahl abgerundet ergibt ja i.a. nichts unterschiedliches...

Bei Symmetrie und Transitivität läuft es ähnlich einfach.

> Bei den Äquivalenzklassen dieser Aufgabe fehlt mir bisher
> auch jeglicher Ansatz. Vielleicht hat da noch jmd einen
> Vorschlag?

Das sind ganz bestimmte halboffene Intervalle gleicher Größe auf der reellen Zahlenachse.


Gruß, Diophant

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