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aktuelles blatt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 So 06.07.2003
Autor: ministel

hey ihr zwei...
tut mir leid, dass ich mich ne weile nicht gemeldet und auch wie versprochen meine alten klausuren noch nicht eingereicht hab, aber ich bin bisher entweder nicht dazu gekommen, oder habs ganz einfach verschwitzt... sobald ich zeit finde und dran denke, werd ich mich aber mal an meine alten unterlagen machen (oder hat sich das eh erledigt? hab grad gesehen, dass ihr die schulforen geschlossen habt).

so, jetzt zu meinem eigentlichen problem:
konnte letzte woche nicht in meine vorlesungen und sitze jetzt vorm aktuellen blatt und krieg irgendwie nur wenig hin. grad mal eine aufgabe (nummer 2) hab ich, an aufgaben 1 und 4 hab ich mich bereits versucht, scheitere allerdings schon nach kurzer zeit, weil mir jegliche idee fehlt, wie ich das angehen könnte.
könnt ihr mir da evtl. bisschen helfen? ich weiß, dass das sehr kurzfristig ist, aber ich hatte die letzten tage ne menge um die ohren und bin vorher nicht dazu gekommen...

url zum blatt ist:
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/junker/ss03/ss03-ana2-uebung09.pdf
(alternativ auch wieder als ~.ps oder ~.dvi

an aufgabe drei hab ich mich noch nicht versucht, wollte es jetzt aber mal als nächstes in angriff nehmen.


        
Bezug
aktuelles blatt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 06.07.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel,

also: Aufgabe 1 löst du einfach mit der integrierten Version des Mittelwertsatzes für Funktionen [mm]f: R^d \rightarrow R[/mm]. Melde dich doch mal mit einem Lösungsvorschlag.

Aufgabe 3 ist viel spannender, wie ich finde. ;-) Bei der Aufgabe musste ich auch ein wenig nachdenken.

Also: (a) => (b) ist trivial. Jetzt zeige ich (b) => (a) :

Definiere zunächst:

[mm]F_i(x) := \int_0^1 \left(\sum_{j=1}^2 g_{ij}(tx) x_j \right) dt[/mm].

Dann rechnet man nach (unter Beachtung der Bedingung [mm] \frac{\partial g_{ij}}{\partial x_i}=\frac{\partial g_{ii}}{\partial x_j}[/mm] ), dass folgendes gilt:

(*) [mm] \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = g_{ij}[/mm]

Wegen [mm]g_{ij}=g_{ji}[/mm] gilt also:

[mm] \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} [/mm]

Definiert man sich nun (analog zu oben) eine Funktion

[mm]f(x) := \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^2 F_i(tx) x_i \right) dt[/mm],

so kann man (wie oben) zeigen, dass

(**) [mm] \frac{\partial f}{\partial x_i} = F_i[/mm]

gilt, insgesamt also (vgl. (*) und (**)):

[mm]\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = g_{ij} [/mm]

Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr mir Aufgabe 4 anzuschauen. Melde dich doch mal bei Fragen oder mit Lösungsvorschlägen.

Alles Gute
Stefan


Bezug
        
Bezug
aktuelles blatt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 So 06.07.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel,

okay, hier auch noch Aufgabe 4. Dass die behaupteten Objekte Kurven und 1-Formen sind, brauche ich wohl nicht zu zeigen. Daher zeige ich nur die Integralgleichung. Für jede Zerlegung gilt (bitte dann mathematisch sauberer aufschreiben, sonst gibt es Punktabzug) für eine 1-Form
[mm] \omega = \sum_{i=1}^n f_i dx_i[/mm]:

[mm] \int_{A \circ c} \omega[/mm]

= [mm] \int_a^b \left( \sum_{i=1}^n f_i(A\circ c(t)) \cdot (A \circ c)_i'(t)\right) dt[/mm]

= [mm] \int_a^b \left( \sum_{i=1}^n f_i(A\circ c(t)) \cdot (\sum_{j=1}^n a_{ij} c_j'(t)) \right) dt[/mm]

= [mm] \int_a^b \left( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij} f_i(A\circ c(t)) \cdot c_j'(t) \right) dt[/mm]

= [mm] \int_a^b \left( \sum_{j=1}^n (A^T f)_j (A(c(t))) \cdot c_j'(t) \right) dt[/mm]

= [mm] \int_c \omega^A[/mm]

Liebe Grüße
Stefan


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Bezug
aktuelles blatt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Mo 07.07.2003
Autor: ministel

hallo stefan!

tauuusend dank für deine hilfe, wirklich!

hab mein blatt gerade abgegeben und bin gestern nicht mehr dazu gekommen, nochmal hier zu schreiben, was ich bei aufgabe 1 nun fabriziert habe. dass f konstant ist, ließ sich ja relativ einfach zeigen, den rückweg hab ich mir dann auch noch irgendwie zusammengebastelt. glaub zwar nicht, dass es volle punktzahl dafür gibt, aber ich hab soweit ich weiß eh schon genug punkte, um zur klausur zugelassen zu werden, geht also nur noch darum, eventuelle "schönheitskorrekturen" an der endnote vorzunehmen. ;)

also danke nochmal, hast mir wirklich sehr geholfen. :)

Bezug
                        
Bezug
aktuelles blatt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Mo 07.07.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel!

> tauuusend dank für deine hilfe, wirklich!

Keine Ursache. Es macht mir großen Spaß noch mal ein wenig Grundstudiums-Analysis zu wiederholen. Ich habe da mittlerweile einiges vergessen (es ist fast 10 Jahre her...) und muss es dringend mal wieder auffrischen. Du gibst mir eine gute Gelegenheit dazu.

> hab mein blatt gerade abgegeben und bin gestern nicht mehr dazu
> gekommen, nochmal hier zu schreiben, was ich bei aufgabe 1 nun
> fabriziert habe. dass f konstant ist, ließ sich ja relativ
> einfach zeigen,

Richtig!

> den rückweg hab ich mir dann auch noch
> irgendwie zusammengebastelt.

Sorry, aber welchen Rückweg?? Du solltest doch nur die eine Richtung zeigen. Ich meine, der Umkehrschluss wäre doch: Wenn f konstant ist, dann ist U ein Quader (oder so ähnlich). Das macht doch keinen Sinn...

> glaub zwar nicht, dass es volle
> punktzahl dafür gibt,

Auf keinen Fall, wenn du bei den anderen Aufgaben meine Lösungen so übernommen hast. Ich habe ja nur die grobe Skizze geliefert, man muss das natürlich noch viel weiter ausführen...

> aber ich hab soweit ich weiß eh schon
> genug punkte, um zur klausur zugelassen zu werden, geht also
> nur noch darum, eventuelle "schönheitskorrekturen" an der
> endnote vorzunehmen. ;)

Naja, ein paar Punkte wirst du schon bekommen. Ich rechne mal mit 12 von 16. Optimistisch, wie ich bin...

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                
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aktuelles blatt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:51 Do 10.07.2003
Autor: ministel

ja, rückweg war jetzt bisschen falsch ausgedrückt. ich habs jedenfalls scheinbar richtig bewiesen, oder zumindest hatt ich so in etwa das gleiche wie einer meiner mitstudierenden.

hab den zettel leider noch nicht wieder, da diese woche übungsgruppe ausgefallen ist... 12 punkte halte ich allerdings für SEHR optimistisch. ;)

hab allerdings auch aufgabe 3 von dir nicht übernommen... ich konnts irgendwie nicht richtig nachvollziehen, und ich machs immer nur so ungern, aufgaben abzuschreiben, die ich nicht versteh. aber nummer 4 hab ich natürlich noch ausführlicher und "mathematischer" formuliert...

Bezug
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