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Forum "Differenzialrechnung" - allgemeine Lösung
allgemeine Lösung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

Aufgabe
Bestimmen sie die allgemeine Lösung von y'+y=x
Geben Sie zusätzlich diejenige Lösung y(x) an, für die y(0)=1 gilt.

Hey, komme bei dieser aufgabe nicht weiter...
Habe als homogene Lösung y_hom= [mm] sqrt(x^2+2c) [/mm]
Bzw [mm] y_hom=sqrt(x^2+k) [/mm] mit k=2c
Ist das richtig? Komme dann bei dem ansatz der partikulären lösung nicht weiter das wäre ja [mm] y(x)=sqrt(x^2+k(x)) [/mm]
Also [mm] y'(sqrt(x^2+k(x))) [/mm]
Aber was ist das? Kommt mir alles etwas spanisch vor...
Mfg sören
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Fr 10.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Sören und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Bestimmen sie die allgemeine Lösung von y'+y=x
> Geben Sie zusätzlich diejenige Lösung y(x) an, für die
> y(0)=1 gilt.
> Hey, komme bei dieser aufgabe nicht weiter...
> Habe als homogene Lösung y_hom= [mm]sqrt(x^2+2c)[/mm]
> Bzw [mm]y_hom=sqrt(x^2+k)[/mm] mit k=2c
> Ist das richtig?

Nein, das ist sehr falsch ...

Zeige mal deine Rechnung dazu!

Die homogene Dgl lautet doch $y'=-y$ - und das ist eine trennbare Dgl ...

> Komme dann bei dem ansatz der
> partikulären lösung nicht weiter das wäre ja
> [mm]y(x)=sqrt(x^2+k(x))[/mm]
> Also [mm]y'(sqrt(x^2+k(x)))[/mm]
> Aber was ist das? Kommt mir alles etwas spanisch vor...

Das liegt an der falschen homogenen Lösung!

> Mfg sören
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

Als erstes habe ich als homogene Lösungsansatz
y'=dy/dx
Das eingesetzt ergibt
Dy/dx +y=x
=> y= x× dx/dy
Sehe gradedas da ein fehler ist...
Also folgt hier
y+dy=x dx?
Jetzt weiß ich hier aber nicht weiter ist y+dy das gleiche wie y dy? Wie integriere ich das?

Bezug
                        
Bezug
allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Fr 10.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Als erstes habe ich als homogene Lösungsansatz
> y'=dy/dx
> Das eingesetzt ergibt
> Dy/dx +y=x

???

Die Dgl lautet doch [mm]y'=-y+x[/mm]

Die zugeh. homogene Dgl. [mm]y'=-y[/mm]

Also [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ -1 \ dx[/mm] für [mm]y\not\equiv 0[/mm]

Nun beiderseits integrieren.

Danach bestimme eine partikuläre Lösung durch VdK ....

> => y= x× dx/dy
> Sehe gradedas da ein fehler ist...
> Also folgt hier
> y+dy=x dx?
> Jetzt weiß ich hier aber nicht weiter ist y+dy das
> gleiche wie y dy? Wie integriere ich das?

Gruß

schachuzipus

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Bezug
allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

jetzt verstehe ich grade gar nichts mehr-.-
laut unserem Prof sollen wir zur bestimmung der homogenen Diffgl. y´mit dy/dx ersetzen und quasi Seperationsmethode anwenden ist das falsch?

Bezug
                                        
Bezug
allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Fr 10.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


bitte Fragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!


> jetzt verstehe ich grade gar nichts mehr-.-
> laut unserem Prof sollen wir zur bestimmung der homogenen
> Diffgl. y´mit dy/dx ersetzen und quasi Seperationsmethode
> anwenden ist das falsch?

Ja, aber das Ersetzen von [mm]y'[/mm] durch [mm]dy/dx[/mm] ist doch nicht die homogene Dgl.

Die homogene Dgl. ist die Dgl. ohne x-Terme (nur mit y)

Also wie mehrfach erwähnt:

[mm]y_{h}'+y_h=0[/mm] bzw. [mm]y_h'=-y_h[/mm]

Lassen wir der besseren Schreibbarkeit wegen den Index weg:

[mm]y'=-y[/mm]

Nun ersetze wie empfohlen:

[mm]\frac{dy}{dx} \ = \ -y [/mm]

Nun durch [mm]y[/mm] teilen (für [mm]y\not\equiv 0[/mm]) und mit dx multiplizieren:

[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ -1 \ dx[/mm]

Integrieren:

[mm]\int{\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{-1 \ dx}[/mm]

[mm]\Rightarrow \ln(|y|) \ = \ -x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]

Nun nach y auflösen.

Am Ende dann mit VdK eine partikuläre Lösung bestimmen.

Beachte, dass sich die Lösung als Summe der allg. homogenen Lösung und einer part. Lösung zusammensetzt:

[mm]y=y_h+y_p[/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx

okay habe jetzt als y_hom e^(-x+c) ?
ist dies richtig?
das wäre dann [mm] e^-x*e^c [/mm]
also e^-x *k

dann mit Variation der Konstanten
y(x)=k(x)*e^-x
y´(x)=k´(x)*e^-x+k(x)*-e^-x
??  


Bezug
                                                
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allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Fr 10.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ist das ne Frage oder eine Mitteilung?

Bitte Fragen als Fragen stellen.

Das nächste Mal lösche ich das kommentarlos!

> okay habe jetzt als |y_hom| e^(-x+c) ? [ok]
> ist dies richtig?
> das wäre dann [mm]e^-x*e^c[/mm]
> also e^-x *k [ok]

>

> dann mit Variation der Konstanten
> y(x)=k(x)*e^-x
> y´(x)=k´(x)*e^-x+k(x)*-e^-x

Jo, bis auf ein fehlendes Klammerpaar:

[mm]y'(x)=k'(x)e^{-x}-k(x)e^{-x}[/mm]

Klicke mal auf meine Formeln, dann siehst du, wie du sie schön lesbar eintippen kannst

> ??

Richtig soweit. Nun dieses [mm]y'[/mm] und [mm]y[/mm] in die Ausgangsdgl einsetzen und [mm]k(x)[/mm] durch Integration bestimmen.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                        
Bezug
allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Fr 10.05.2013
Autor: xsuernx


> Hallo nochmal,
>  
> ist das ne Frage oder eine Mitteilung?
>  
> Bitte Fragen als Fragen stellen.
>  
> Das nächste Mal lösche ich das kommentarlos!
>  

Sorry hatte die zweite Mitteilung bereits getippt deine Ermahnung jedoch noch nicht gelesen und komme mit der großen Anzahl der möglichen Antworten noch nicht klar...

Okay ich habe
$ [mm] k'(x)=x/e^{-x} [/mm] $
[mm] $k(x)=(x-1)*e^x$ [/mm]

und als endergebnis
[mm] $y(x)=e^{-x}*k+(x-)*e^x [/mm] $
und als spezielle Lösung aus der Randbedingung folgt bei mir
$ k=2 $
ist das richtig?
Viele Dank
Sören

Bezug
                                                                
Bezug
allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Fr 10.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> > Hallo nochmal,
> >
> > ist das ne Frage oder eine Mitteilung?
> >
> > Bitte Fragen als Fragen stellen.
> >
> > Das nächste Mal lösche ich das kommentarlos!
> >
> Sorry hatte die zweite Mitteilung bereits getippt deine
> Ermahnung jedoch noch nicht gelesen und komme mit der
> großen Anzahl der möglichen Antworten noch nicht klar...

Ist schon ok, ich wollte nur darauf hinweisen ;-)

>

> Okay ich habe
> [mm]k'(x)=x/e^{-x}[/mm]

[mm]=x\cdot{}e^x[/mm] ;-)

> [mm]k(x)=(x-1)*e^x[/mm] [ok]

Sehr gut!

>

> und als endergebnis
> [mm]y(x)=e^{-x}*k+(x-)*e^x[/mm]

Nein, du musst erstmal das [mm]k(x)[/mm] in die part. Dgl. einsetzen.

Das war ja: [mm]y_p(x)=k(x)\cdot{}e^{-x}[/mm]

Also [mm]y_p(x)=(x-1)e^x\cdot{}e^{-x}=x-1[/mm]


Also insgesamt: [mm]y=y_h+y_p=ke^{-x}+x-1[/mm]

> und als spezielle Lösung aus der Randbedingung folgt bei
> mir
> [mm]k=2[/mm]
> ist das richtig?

Das stimmt auf mysteriöse Art und Weise ;-)

Beachte, dass zu einer vollst. Lösung auch die Angabe des Definitionsbereiches gehört!

> Viele Dank

Gerne!

> Sören

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
allgemeine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Fr 10.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Danach bestimme eine partikuläre Lösung durch VdK ....

VdK: Vereinigung der Kreise??
(Keine Angst, ich weiß, was Du meinst: Variation d...)

Coole Abkürzung! :-) (Besser wie mein Prof., der mal "Vielfachheit" abkürzen
wollte und dann immer "inkl. [mm] $\text{V\red{V}}$" [/mm] schrieb' ... ;-) !)

Gruß,
  Marcel

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