matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitb-adische Darstellung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Stetigkeit" - b-adische Darstellung
b-adische Darstellung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

b-adische Darstellung: Aufgabenteil b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 09.11.2017
Autor: Selman

Aufgabe
Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017

Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017 errechnen kann.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
b-adische Darstellung: Vermutung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Do 09.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> errechnen kann.

Du meinst also die einhundertste (dezimale) Nachkommastelle
der Zahl

     $ \ z\ =\ [mm] \left(\,5\,+\, \sqrt{26}\,\right)^{2017}\quad [/mm] ? $

Naja, so auf den ersten Blick denke ich nur, dass dies mit
elementaren Hilfsmitteln (Papier und Bleistift, Taschenrechner)
und ohne "zündende Ideen" eine recht anspruchsvolle Rechnung
werden könnte.

Nachdem ich aber mit Wolfram-Alpha etwas rumgespielt habe
(liefert zwar in der allgemein zugänglichen Version das Ergebnis
auch nicht), habe ich aber doch wenigstens eine Vermutung:

Die einhundertste Nachkommastelle ist eine Null.


Mittels Wolfram habe ich dieselbe Rechnung einfach mal mit
kleineren, ebenfalls ungeraden Exponenten durchgespielt, etwa:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E3)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E17)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E101)

In diesen Beispielen zeigt sich, dass jeweils nach der führenden Null
und dem Dezimalpunkt gerade so viele Nullen folgen, wie der
Exponent angibt. So vermute ich, dass auch in der Dezimalent-
wicklung von

       $ [mm] \left(\,5\,+\, \sqrt{26}\,\right)^{2017}$ [/mm]

nach dem Dezimalpunkt zuerst einmal 2017 Nullen und erst dann
andere Dezimalstellen erscheinen. Die einhundertste Nachkommastelle
liegt dann natürlich locker, und zwar schon recht weit vorne in diesem
Nullerblock.
Nun bleibt natürlich noch zu eruieren, wie man dies algebraisch
begründen könnte.
  
LG ,    Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
b-adische Darstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Do 09.11.2017
Autor: abakus


> Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
>  Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> errechnen kann.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
du machst keine Aussagen über das verwendete b. Geht es nur um b=10?
Ich habe keine Lösung, nur ein paar bruchstückhafte Überlegungen.
Wenn man das mit binomischer Formel ausmultipliziert, bekommt man 2018 Summanden. In der Hälfte dieser Fälle  hat √26 einen geraden Exponenten und ergibt irgendeine Potenz von 26 (ohne Nachkommastellen).
Nachkommastellen liefern nur die Summanden, bei denen √26 mit ungeradem Exponenten vorkommt. All diese Summanden kann man durch Ausklammern von √26 zusammenfassen zu √26*(Summe von natürlichen Zahlen). Diese natürlichen Zahlen sind Produkte von Potenzen von 5 mit den jeweiligen Binomialkoeffizienten.
Vielleicht gibt es für diesen Fall irgendeine Summenformel, aus der sich eine möglicherweise einfach zu ermittelnde Summe ergibt.
Dann die 100. Nachkommastelle zu ermitteln ist immer noch ein hartes Brot.

Bezug
        
Bezug
b-adische Darstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Do 09.11.2017
Autor: abakus

Eine weitere Idee:
√26 kann man mit beliebiger Genauigkeit aus einer Reihenentwicklung mit dem Entwicklungspunkt √25 gewinnen.

Bezug
        
Bezug
b-adische Darstellung: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Fr 10.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von [mm] $\left(5+\sqrt{26}\right)^{2017}$ [/mm]
> errechnen kann.


Hallo Selman

Nach einigem Herumrätseln ist mir nun doch ein Zugang
eingefallen.
Die Basis  $\ [mm] 5\,+\,\sqrt{26}$ [/mm]  der Potenz hat die Form

     $\ a\ =\ [mm] k\,+\,\sqrt{k^2\,+\,1}$ [/mm]     (für k = 5)

Nun kann man sich Folgendes klar machen:

(1.)  $\ [mm] a^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{a}\ [/mm] =\ [mm] -\,k\,+\,\sqrt{k^2\,+\,1}$ [/mm]      (Stichwort binom. Formel)

(2.)  fPart [mm] (a^{-1}) [/mm] =  fPart (a)

( mit fPart(x) sei dabei der gebrochene Anteil von x gemeint,
also  fPart(x) := x - [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] )

(3.)  fPart [mm] (a^{-n}) [/mm] =  fPart [mm] (a^n) [/mm]     für alle ungeraden n


Im vorliegenden Beispiel mit k=5  und  $\ a\ =\ [mm] 5\, +\, \sqrt{26}\ \approx [/mm] 10.099$
und dem ungeraden und sehr großen n = 2017 ergibt sich nun:

$\ [mm] fPart\left[\, \left( 5\,+\,\sqrt{26}\right)^{2017}\right]\ [/mm] =\  fPart [mm] \left[\, \left( 5\,+\,\sqrt{26}\right)^{\,-\,2017}\right]\ [/mm] \ =\ fPart [mm] \left(10.099...^{\,-\,2017}\right)\ [/mm] =\ [mm] 10.099...^{\,-\,2017}\ [/mm] <\ [mm] 10^{\,-\,2017} [/mm] $

Jetzt wird ersichtlich, dass die in meiner vorherigen Mitteilung
geäußerte Vermutung betr. die lange Nullen-Serie in der
Dezimalentwicklung der vorliegenden Potenz zutreffen muss
und also insbesondere die hundertste Nachkommastelle
eine Null sein muss.

Man kann sich natürlich auch noch klar machen, dass die
Zahlenbasis 10 hier keine besondere Rolle gespielt hat.
Analoges wird man also auch bei der Darstellung bezüglich
einer anderen Zahlenbasis b  (mit [mm] b\in\IN [/mm] , b > 1) feststellen.

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 34m 13. Diophant
ULinAAb/Permutationsgr./ Transposition
Status vor 10h 41m 63. rabilein1
MSons/Kann man beim Roulette verlier
Status vor 16h 38m 6. Al-Chwarizmi
UStoc/Geordnete Stichproben mit Wdh.
Status vor 1d 18h 25m 2. matux MR Agent
DiffGlPar/Abschätzung
Status vor 1d 20h 25m 7. matux MR Agent
Algebra/Integritätsbereich Polynomring
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]