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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - bestimme harmonische Funktion
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bestimme harmonische Funktion: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:22 Di 24.10.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Bestimme alle harmonischen Funktionen u : [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] die für alle x [mm] \in \IR^2 [/mm] und alle [mm] \lambda\ge [/mm] 0 [mm] u(\lambda x)=\lambda^2u(x) [/mm] und u(1,0)=1 erfüllen.




Hallo ihr Lieben,

ich bräuchte mal wieder eure Hilfe

damit eine Fkt harmonisch ist, muss u [mm] \in \C^2(\Omega) [/mm] sein und [mm] \Delta u(x)=\sum_{i=1}^{n}u_{x_i,x_i}=0 [/mm] für alle x [mm] \in \Omega. [/mm]


wenn ich mir jetzt meine Funktion angucke:
x [mm] \in \IR^2, [/mm] also betrachte ich x=(x,y)
also etwas wie
[mm] u(\lambda x)=u(\lambda(x,y))=\lambda^2 u(x,y)=\lambda^2 [/mm] u(x)

gucke ich mir jetzt die partiellen Ableitungen an
[mm] u_x=\lambda u_x(\lambda(x,y)) [/mm]
[mm] u_{xx}=\lambda^2u_{xx}(x,y) [/mm]
(für y anlaog)
und damit u harmonisch ist, muss gelten

[mm] \lambda^2(u_{xx}(\lambda(x,y))+u_{yy}(\lambda(x,y)))=0 [/mm] oder?

Zur Vereinfachung jetzt [mm] \lambda=a [/mm]
U(a(x,y)) = [mm] (ax)^2 [/mm] - [mm] (ay)^2 [/mm] = [mm] a^2 (x^2-y^2) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] u(x,y) so eine oder? Die würde auch u(1,0)=1 erfüllen. Aber wie finde ich alle?


wie geht man da jetzt am besten weiter vor?
Vielen Dank und schönen Abend noch :)

        
Bezug
bestimme harmonische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Do 26.10.2017
Autor: blablablabla12345

Wie wärs mit raten? Irgendeine Funktion wirst du ja wohl kennen...

Bezug
        
Bezug
bestimme harmonische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Do 26.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi

x $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ also betrachte ich x=(x,y)
also etwas wie
$ [mm] u(\lambda x)=u(\lambda(x,y))=\lambda^2 u(x,y)=\lambda^2 [/mm] $ u(x)

Ich würde mal sagen, dass das eine wenigstens ziemlich
unglückliche Bezeichnungsweise ist.

Soll die erste Komponente des Vektors x wirklich mit dem
Vektor selbst übereinstimmen ?


LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
bestimme harmonische Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Do 26.10.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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