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char. Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mi 29.02.2012
Autor: hula

Hallöchen miteinander

Leider stehe ich in einer Rechnung an und komm nicht weiter:

Wenn ich eine Zufallsvariable $Y$ mit Erfolgsparamter [mm] $p=\bruch{1}{2}$, [/mm] d.h. [mm] $P[Y=1]=P[Y=-1]=\bruch{1}{2}$ [/mm] (Münzenwurf), sowie eine Zufallsvariable $V-W$, wobei diese Differenz normalverteilt sei mit Erwartungswert 0 und Varianz a. Ich weiss, dass $U$ unabhängig zu $V$ und $W$ ist, also auch zu $V-W$.

Jetzt will ich die charakteristische Fkt. berechnen:

[mm] \varphi(t)=E[e^{itY(V-W)}] [/mm]


Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen? Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass $YV$,$YW$ unabhängig sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!

Greetz

hula

        
Bezug
char. Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Mi 29.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen?
> Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt
> schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass [mm]YV[/mm],[mm]YW[/mm] unabhängig
> sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!

unter der Annahme, dass $Y=U$ kannst du dank Fubini doch sofort nachvollziehen, dass gilt:

[mm] $E[e^{itY(V-W)}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}E[e^{it(V-W)}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}E[e^{-it(V-W)}] [/mm] $

MFG,
Gono.

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Bezug
char. Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 29.02.2012
Autor: hula


> Hiho,
>  
> > Hier stehe ich komplett an. Wie soll ich dies vereinfachen?
> > Da keine Summe steht, kann ich das ja nicht als Produkt
> > schreiben, resp. ich weiss ja nicht, dass [mm]YV[/mm],[mm]YW[/mm] unabhängig
> > sind. Für Hilfe wäre ich dankbar!
>  
> unter der Annahme, dass [mm]Y=U[/mm] kannst du dank Fubini doch
> sofort nachvollziehen, dass gilt:

richtig! Entschuldige den Fehler! Y=U

>  
> [mm]E[e^{itY(V-W)}] = \bruch{1}{2}E[e^{it(V-W)}] + \bruch{1}{2}E[e^{-it(V-W)}][/mm]
>  
> MFG,
>  Gono.

Wieso Fubini? Die charakteristische Funktion ist ja ein einfaches Integral. Ist die charak. Funktion von Produkten mehrfaches Integral? Man könnte doch auch die neue Zufallsvariable $Z:=Y(V-W)$ betrachten und einfach diese Integrieren, d.h.

$$ [mm] E[e^{itZ}]$$ [/mm]

Das wäre ja dann auch ein einfaches Integral.

Greetz

hula

Bezug
                        
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char. Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mi 29.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wieso Fubini? Die charakteristische Funktion ist ja ein
> einfaches Integral. Ist die charak. Funktion von Produkten
> mehrfaches Integral? Man könnte doch auch die neue
> Zufallsvariable [mm]Z:=Y(V-W)[/mm] betrachten und einfach diese
> Integrieren, d.h.
>  
> [mm]E[e^{itZ}][/mm]
>  
> Das wäre ja dann auch ein einfaches Integral.

Was ist denn ein "einfaches" Integral? Sicherlich ist das erstmal ein Integral, nur was für eins?
Wie ist denn allgemein der Erwartungswert definiert?

Und vorallem: Wie ist allgemein der Erwartungswert definiert, wenn X,Y zwei (beliebige) Zufallsvariablen und f eine meßbare Funktion sind und du

E[f(X,Y)]

berechnen willst?

MFG,
Gono.


Bezug
                                
Bezug
char. Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mi 29.02.2012
Autor: hula

hallo gono

Vielleicht stehe ich gerade total auf dem Schlauch, aber ich würde sagen:

$$ [mm] E[e^{itX}]=\int_{\IR} e^{itx}d\mu$$ [/mm]

wobei [mm] $\mu$ [/mm] halt die Verteilung von $X$ ist. Das ist ein einfaches Integral! jetzt hätte ich gesagt, dass $Z:=Y(V-W)$ ist eine Zufallsvariable  auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega$. [/mm] Also ist doch hier:

[mm] $$E[e^{itZ}]=\int_{IR}e^{itz}d\mu$$ [/mm]

wobei hier halt [mm] $\mu$ [/mm] die Verteilung von $Z=Y(V-W)$ ist. Das ist aber in meinen Augen immer noch ein einfaches Integral. Wie soll ich den nun Fubini anwenden?

Greets

hula

Bezug
                                        
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char. Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Do 01.03.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich würde sagen:
>  
> [mm]E[e^{itX}]=\int_{\IR} e^{itx}d\mu[/mm]
>  
> wobei [mm]\mu[/mm] halt die Verteilung von [mm]X[/mm] ist.

[ok]

> jetzt hätte ich gesagt, dass [mm]Z:=Y(V-W)[/mm]
> ist eine Zufallsvariable  auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm]\Omega[/mm]. Also ist doch hier:
>  
> [mm]E[e^{itZ}]=\int_{IR}e^{itz}d\mu[/mm]
>  
> wobei hier halt [mm]\mu[/mm] die Verteilung von [mm]Z=Y(V-W)[/mm] ist.

Ja, das kann man so machen. Ich schreibs mal ein bisschen anders und setze $X = V-W$ und betrachte dann Y und X als getrennte Abbildungen jeweils nach [mm] $\IR$, [/mm] dann hätten wir einen Erwartungswert der Form

E[f(X,Y)]

zu berechnen und der berechnet sich bekanntermaßen nach:

[mm]E[f(X,Y)]=\int_{\IR^2}f(x,y)d\mu_{(Y,X)}[/mm]

wobei [mm] $\mu_{(Y,X)}$ [/mm] die gemeinsame Verteilung von X und Y ist.
Nun sind Y und X aber unabhängig, d.h. die gemeinsame Verteilung ist das Produkt der Verteilungen, d.h.

[mm]E[f(X,Y)]=\int_{\IR}\int_{\IR}f(x,y)d\mu_Y\,d\mu_X = \int_{\IR}\left(\bruch{1}{2}*f(X,1) + \bruch{1}{2}f(X,-1)\right)\,d\mu_X = \bruch{1}{2}E[f(X,1)] + \bruch{1}{2}E[f(X,-1)][/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
        
Bezug
char. Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Mi 29.02.2012
Autor: luis52

Moin hula,

m.E. kommt man auch auf die Gonosche Loesung, wenn man den Satz vom iterierten Erwartungswert  anwendet.

vg Luis

Bezug
                
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char. Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mi 29.02.2012
Autor: hula

Aber hier verwende ich doch gar keinen bed. Erwartungswert. Kannst du deine Lösung ein wenig ausführlicher formulieren? Das wäre echt super! :)


Greetz

hula

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Bezug
char. Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Do 01.03.2012
Autor: luis52

Moin,

betrachte die diskret verteilte Zufallsvariable [mm] $Z=\operatoname{E}[\exp[itYU\mid [/mm] Y]]$.  Sie nimmt die Werte $Z= [mm] \operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y=-1]]=\operatoname{E}[\exp[-itU]]$ [/mm] und [mm] $\operatoname{E}[\exp[itU]]$ [/mm] an, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.  Mithin ist [mm] $\operatoname{E}[\operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y]]]=\operatoname{E}[Z]=(\operatoname{E}[\exp[-itU]]+\operatoname{E}[\exp[itU]])/2$ [/mm] (die Gonzosche Formel).  Andererseits besagt der Satz vom iterierten Erwartungswert, dass [mm] $\operatoname{E}[\operatoname{E}[\exp[itYU\mid Y]]]=\operatoname{E}[\exp[itYU]]$. [/mm]

vg Luis

PS: Ist die Bestimmung der CF eine Fingeruebung fuer dich? Ich frage deshalb, weil es m.E. einfacher ist, die Verteilung von $YU_$ direkt zu bestimmen.


Bezug
                                
Bezug
char. Funktion berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Do 01.03.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

und wie es ohne bedingte Erwartung geht, hab ich nu auch beantwortet :-)

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
char. Funktion berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Mi 29.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> m.E. kommt man auch auf die Gonosche Loesung, wenn man den
> Satz vom iterierten Erwartungswert  anwendet.

ja, da kam ich auch schon drauf, wusste aber nicht, welches Wissen ich beim Fragesteller voraussetzen kann.
Habe nur aktuell keine Zeit für eine auführliche Antwort :-)
Also falls du magst....

MFG,
Gono.

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