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cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mo 19.03.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen sie die Lösungen der Gleichung

[mm] cos^2({x - \bruch{\pi}{2}}) [/mm] + [mm] sin^2({x - \bruch{\pi}{2}}) [/mm] = 1

Moin Moin,

hier fehlt mir eine Idee. Kann jemand weiterhelfen?

Ich könnte z.B. x - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] durch z substituieren; frage mich nur, was mir das bringt.

Ich denke daran, Sinus durch Kosinus zu ersetzen; frage mich nur, was das bringen könnte.


Danke für eure Hilfe!





        
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mo 19.03.2018
Autor: Fulla

Hallo hase-hh,

bist du dir sicher, dass das die richtige Aufgabenstellung ist?
So, wie sie da steht, ist die Aufgabe eher unspannend, da
    [mm]\sin^2 z + \cos^2 z =1 \quad\forall z\in\mathbb C[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Mo 19.03.2018
Autor: hase-hh

Es ist richtig, es geht um komplexe Zahlen bzw. um Lösungen in [mm] \IC, [/mm] falls das deine Frage war?!

Bezug
                        
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es ist richtig, es geht um komplexe Zahlen bzw. um
> Lösungen in [mm]\IC,[/mm] falls das deine Frage war?!

die Frage war, ob die Aufgabe wirklich so gestellt wurde, weil sie recht trivial ist.

Um Fullas Antwort nochmal zu wiederholen: Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt [mm] $\sin^2(z) [/mm] + [mm] \cos^2(z) [/mm] = 1$.

Insbesondere gilt also für alle $x [mm] \in \IC: \sin^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) [/mm] + [mm] \cos^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) [/mm] = 1$

Damit wäre die Antwort auf deine Frage: Die Gleichung gilt für alle $x [mm] \in \IC$. [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 19.03.2018
Autor: hase-hh

Aha, vielen Dank!

Ok, und wie kann ich diese Lösungen berechnen?

Bezug
                                        
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Mo 19.03.2018
Autor: Fulla

Hallo nochmal!

Nachrechnen, dass die Gleichung für alle komplexen Zahlen wahr ist, kannst du z.B. indem zu erstmal [mm]z:=x-\frac\pi 2[/mm] substituierst, dann [mm]z=x+iy[/mm] identifizierst und [mm]\sin z=\sin(x+iy)=\sin x \cosh y+ i\cos x \sinh y[/mm] bzw [mm]\cos z=\cos(x+iy)=\cos x \cosh y - i\sin x \sinh y[/mm] verwendest.

Forme dazu [mm] $\sin^2 [/mm] z + [mm] \cos^2 [/mm] z = [mm] \ldots [/mm] $ um.

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                                                
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 19.03.2018
Autor: hase-hh

Also:

z =  x - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]


[mm] cos^2(z) [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] (z) = 1

z = a + bi  


[mm] cos^2(a+bi) [/mm] + [mm] sin^2(a+bi) [/mm] = 1

( cos(a)*cosh(b) - i*sin(a)*sinh(b) [mm] )^2 [/mm] + ( sin(a)*cosh(b) + i*cos(a)*sinh(b) [mm] )^2 [/mm] = 1

[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) [/mm] -2*i*cos(a)*cosh(b)*sin(a)*sinh(b) [mm] +i^2*sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) [/mm] +2*i*sin(a)*cosh(b)*cos(a)*sinh(b) [mm] +i^2*cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1


[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) [/mm] -2*i*cos(a)*cosh(b)*sin(a)*sinh(b) [mm] -sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) [/mm] +2*i*sin(a)*cosh(b)*cos(a)*sinh(b) [mm] -cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1


[mm] cos^2(a)*cosh^2(b) -sin^2(a)*sinh^2(b) [/mm] + [mm] sin^2(a)*cosh^2(b) -cos^2(a)*sinh^2(b) [/mm] = 1


Ich weiss nicht, ob es weiterführt. Ich könnte [mm] cos^2(a) [/mm] ausklammern und da

[mm] cosh^2(w) [/mm] - [mm] sinh^2(w) [/mm] = 1  vereinfachen...

sowie [mm] sin^2(a) [/mm]



[mm] cos^2(a)*[cosh^2(b) -sinh^2(b)] [/mm] + [mm] sin^2(a)*[-sinh^2(b) [/mm] + [mm] cosh^2(b)] [/mm] = 1


[mm] cos^2(a)*[1] [/mm] + [mm] sin^2(a)*[1] [/mm] = 1

Stimmt das?

Und bin ich jetzt nicht wieder am Anfang?


Bezug
                                                        
Bezug
cos^2(x-/pi/2)+ sin^2(x-pi/2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:34 Di 20.03.2018
Autor: Fulla

Hallo hase,

diese Rechnung läuft darauf hinaus, dass du mehrfach [mm]\sin^2 a +\cos^2 a=1[/mm] und [mm]\cosh^2 a - \sinh^2 a=1[/mm] verwendest.

Du bist ja so vorgegangen, dass du die Gleichung an sich umgeformt hast. Am Ende kommst du auf [mm]\cos^2(a)*[1] + \sin^2(a)*[1] = 1[/mm], wobei du die [1] auch weglassen kannst.
Nach dem trigonometrischen Pythagoras steht da dann [mm]1=1[/mm]. Das ist eine wahre Aussage.
Ausgegangen bist du aber von beliebigen [mm]x,y\in\mathbb R[/mm] mit [mm]z=x+iy=\hat x -\frac\pi 2[/mm], wobei das [mm]\hat x[/mm] das [mm]x[/mm] aus deiner ursprünglichen Aufgabenstellung ist.
Das heißt, egal was du für x und y einsetzt, die Gleichung ist immer wahr (egal, was x und y sind, es folgt immer [mm]1=1[/mm]).
Damit hast du gezeigt, dass die Gleichung aus deiner Ausgangsfrage allgemeingütlig ist. Für den Beweis könntest du noch darauf eingehen, dass im Orginal [mm]x-\frac\pi 2[/mm] steht und erklären, warum das eigentlich völlig egal ist. Aber im Prinzip bist du damit fertig.

Liebe Grüße,
Fulla

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