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Forum "komplexe Zahlen" - de Moivre Theorem
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de Moivre Theorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Do 07.02.2013
Autor: Ulixes

Aufgabe 1
Verallgemeinern und beweisen Sie Ihre Ergebnisse für [mm] z^n=a+bi, [/mm] wobei |a+bi|=1 gilt.







Aufgabe 2
Was passiert wenn [mm] |a+bi|\not=1 [/mm] ist?







Hi!


nachdem ich jetzt den ganzen Abend versucht habe und kein Stückchen weitergekommen bin, hab ich kapituliert. Mein Problem ist, dass unser Lehrer uns weder das de Moivre Theorem, noch Induktion wirklich beigebracht hat.

Meine Überlegung war zunächst, dass der Radius in dem Fall ja 1 sein muss. Auch gilt durch das Moivre Theorem:
[mm] z^n=1*(cos [/mm] Th + isin [mm] Th)^n [/mm]

Als Beweis hab ich dann versucht die Induktion davon:
(cos Th + i sin [mm] Th)^n=cos [/mm] nTh + i sin n Th
durchzuführen und das hat auch geklappt.

Allerdings weiß ich nicht wirklich genau, wie ich das Problem angehen soll. Es wäre richtig cool, wenn Ihr mir ein paar Tipps geben könntet, wie das Problem lösen sollte. Dafür wäre ich Euch sehr verbunden. Vielen Dank im Voraus! :)  

//EDIT: Ich habe bei der Fragestellung den Teil "Verallgemeinern und beweisen Sie Ihre Ergebnisse (aus Teil a) und b)) für [mm] z^n=a+bi, [/mm] wobei |a+bi|=1 gilt." vergessen. Meine Ergebnisse für die Aufgaben
a) Benutze das de Moivre Theorem, um Lösungen für $ [mm] z^n= [/mm] $ i ; n=3,4,5 zu erhalten!
b) Benutze eine Zeichensoftware, um jede dieser Lösungen in einem Argand-Diagramm einzuzeichnen.
sind folgende:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
de Moivre Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Do 07.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Verallgemeinern und beweisen Sie [mm]z^n=a+bi ,[/mm]  
> wobei |a+bi|=1  gilt.     [haee]

Die eigentliche Aufgabe lautete bestimmt nicht so.
Es wird ja gar nichts Vernünftiges vorgegeben.
Schau mal zuerst nach und komm dann mit einer
sinnvollen Frage wieder.

>  Was passiert wenn [mm]|a+bi|\not=1[/mm] ist?

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
de Moivre Theorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:25 Fr 08.02.2013
Autor: Ulixes

Naja, es gibt noch zwei weitere Teilaufgaben, die ich allerdings schon gelöst habe.

a) Benutze das de Moivre Theorem, um Lösungen für [mm] z^n= [/mm] i ; n=3,4,5 zu erhalten!
b) Benutze eine Zeichensoftware, um jede dieser Lösungen in einem Argand-Diagramm einzuzeichnen.

Das war es soweit.

Bezug
                        
Bezug
de Moivre Theorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:35 Fr 08.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Naja, es gibt noch zwei weitere Teilaufgaben, die ich
> allerdings schon gelöst habe.
>
> a) Benutze das de Moivre Theorem, um Lösungen für [mm]z^n=[/mm] i
> ; n=3,4,5 zu erhalten!
> b) Benutze eine Zeichensoftware, um jede dieser Lösungen
> in einem Argand-Diagramm einzuzeichnen.
>
> Das war es soweit.  


Aha !  dann sieht es natürlich anders aus.

Du hattest die ursprüngliche Teilaufgabe (c)  :

Verallgemeinern und beweisen Sie Ihre Ergebnisse für [mm] $\green{z^n=a+bi}$ [/mm] , wobei |a+bi|=1 gilt.

sinnentstellend (oder besser "sinnauslöschend") verkürzt zu:

Verallgemeinern und beweisen Sie [mm] $\red{z^n=a+bi}$ [/mm] , wobei |a+bi|=1 gilt.

Die Aufgabe (c) (auch in der richtigen Formulierung) kann man
aber nur wirklich verstehen, wenn man weiß, welche
Ergebnisse (nämlich die aus der vorangehenden Teilaufgabe (a) )
zu verallgemeinern und zu beweisen sind.


Falls du also für die Teilaufgaben (a) und (b) schon richtige
Lösungen hast, sollst du nun weiter die Gleichung  [mm] z^n=a+bi [/mm]
nach z auflösen für den Fall, dass man auf die Voraussetzung  
$\ |a+b*i|\ =\ 1$  verzichtet.

Dazu kann man zunächst die gegebene Zahl  [mm] Z=a+b\,i [/mm] zerlegen
in
       $\ Z\ =\ [mm] R*Z_e$ [/mm] ,  wobei   $\ R\ =\ |Z|$   und    $\ [mm] |Z_e|\ [/mm] =\ 1$

Ebenso kann man die gesuchte Zahl z zerlegen:

       $\ z\ =\ [mm] r*z_e$ [/mm] ,  wobei   $\ r\ =\ |z|$   und    $\ [mm] |z_e|\ [/mm] =\ 1$  

Aus der Gleichung  $\ [mm] z^n\ [/mm] =\ Z\ =\ a+b*i$  wird dann

       $\ [mm] z^n\ [/mm] =\ [mm] (r*z_e)^n\ [/mm] =\ [mm] r^n*(z_e)^n\ [/mm] =\ [mm] R*Z_e$ [/mm]

Die letztere Gleichung kann man nun aufspalten in:

       $\ [mm] r^n\ [/mm] =\ [mm] R\quad \wedge\quad (z_e)^n\ [/mm] =\ [mm] Z_e$ [/mm]
  
Weil jetzt [mm] Z_e [/mm] eine Zahl mit dem Betrag 1 ist, kann man
darauf die Ergebnisse aus Aufgabe (a) anwenden.

LG   Al-Chwarizmi


Ah ja: in deiner Zeichnung zur Gleichung  [mm] z^5=i [/mm]  ist
eine der Lösungen falsch.

                                        


Bezug
                                
Bezug
de Moivre Theorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:40 Fr 08.02.2013
Autor: reverend

Hallo Ulixes, hallo Al,

> Ah ja: in deiner Zeichnung zur Gleichung  [mm]z^5=i[/mm]  ist
>  eine der Lösungen falsch.

Es sind sogar zwei der Lösungen falsch.

Grüße
reverend


Bezug
                                        
Bezug
de Moivre Theorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Fr 08.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Ulixes, hallo Al,
>  
> > Ah ja: in deiner Zeichnung zur Gleichung  [mm]z^5=i[/mm]  ist
>  >  eine der Lösungen falsch.
>
> Es sind sogar zwei der Lösungen falsch.   [haee]


Ich denke, nur bei [mm] z_5 [/mm] hat der Imaginärteil das
falsche Vorzeichen ...
Je nach Lehrkraft wäre dies vielleicht nur ein
"halber" Fehler, da der Realteil doch immerhin
noch richtig ist; und dann beim Imaginärteil
eh nur ein Vorzeichenfehler ...  also peanuts ...    ;-)   ;-)    [kopfkratz3]

lieben Gruß

Al

Bezug
                                                
Bezug
de Moivre Theorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 08.02.2013
Autor: Ulixes

Vielen Dank für die so schnellen und ausführlichen Antworten!

Zunächst habt ihr natürlich Recht, dass ich bei [mm] z^5 [/mm] einen Schusselfehler gemacht habe. Die korrigierte Lösung sieht jetzt so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Allerdings muss ich gestehen, dass ich die Erklärung noch nicht ganz verstanden habe (was eventuell darin liegt, dass ich Komplexe Zahlen in einem einstündigen Crashkurs "gelernt" habe).

1. Wenn vorausgesetzt wird, dass [mm] |Z_{e}|=1 [/mm] ist, kann ich doch dementsprechend auch nur mit den errechneten Ergebnissen rechnen, bei denen irgendwas mit z=a+1i rausgekommen ist, oder? Da liegt meinerseits aber bestimmt ein Denkfehler vor. Ich geh davon aus, dass als [mm] Z_{e} [/mm] der imaginäre Teil bezeichnet wird und R den reelen Teil wiedergibt?!

2. Ich verstehe nicht, wie ich in die hergeleitete Gleichung jetzt meine Ergebnisse einsetzen kann. Könntest du mir das anhand eines Beispiels zeigen?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
de Moivre Theorem: Beispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Fr 08.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Die korrigierte Lösung stimmt    [daumenhoch]

  

> Allerdings muss ich gestehen, dass ich die Erklärung noch
> nicht ganz verstanden habe (was eventuell darin liegt, dass
> ich Komplexe Zahlen in einem einstündigen Crashkurs
> "gelernt" habe).
>
> 1. Wenn vorausgesetzt wird, dass [mm]|Z_{e}|=1[/mm] ist, kann ich
> doch dementsprechend auch nur mit den errechneten
> Ergebnissen rechnen, bei denen irgendwas mit z=a+1i     [haee]
> rausgekommen ist, oder? Da liegt meinerseits aber bestimmt
> ein Denkfehler vor. Ich geh davon aus, dass als [mm]Z_{e}[/mm] der
> imaginäre Teil bezeichnet wird und R den reellen Teil
> wiedergibt?!

Nein, R ist der Betrag der gegebenen Zahl  [mm] a+b\,i [/mm] ,
also  $\ R\ =\ [mm] \sqrt{a^2+b^2}$ [/mm]  , und [mm] Z_e [/mm] ist die auf Einheitslänge
"gekürzte" Zahl , also   $\ [mm] Z_e\ [/mm] =\ [mm] \frac{a}{R}+\frac{b}{R}*i$ [/mm]

> 2. Ich verstehe nicht, wie ich in die hergeleitete
> Gleichung jetzt meine Ergebnisse einsetzen kann. Könntest
> du mir das anhand eines Beispiels zeigen?

Nehmen wir mal die Gleichung  $\ [mm] z^5 [/mm] = [mm] 16+16\sqrt{3} [/mm] i$

Wir haben also n=5 , a = 16 , b = [mm] 16\sqrt{3} [/mm]
Daraus berechnet man

        $\ R\ =\ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] =\ 32$

sowie den Polarwinkel [mm] \phi [/mm] von Z (und auch [mm] Z_e) [/mm] :

       [mm] $\phi\ [/mm] =\ [mm] arctan\left(\frac{b}{a}\right)\ [/mm] =\ $ 60°

Nun folgt  r = |z| = [mm] \sqrt[n]{R} [/mm] = 2
Ferner ist ein erster der möglichen Polarwinkel [mm] \varphi_i [/mm]
für die Lösung [mm] z_1 [/mm] :

       [mm] $\varphi_1\ [/mm] =\ [mm] \phi/n\ [/mm] = 12°$

Alle in Frage kommenden [mm] \varphi_i [/mm]  bilden eine
arithmetische Folge mit der Differenz  

       [mm] $\frac{2*\pi}{n}\ [/mm] =\ [mm] \frac{360^{\circ}}{5}\ [/mm] =\ [mm] 72^{\circ}$ [/mm]

Die insgesamt möglichen Winkel [mm] \varphi_i [/mm] sind also:

       12° , 84° , 156° , 228° , 300°    (Hauptwerte)

Nun bleibt noch, die 5 Lösungen hinzuschreiben, auch
in kartesischer Form, also z.B.

      $\ [mm] z_4\ [/mm] =\ [mm] 2*(cos(228^{\circ})+i*sin(228^{\circ}))\ [/mm] =\ .......$

LG
Al-Chw.  




Bezug
                                                                
Bezug
de Moivre Theorem: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Fr 08.02.2013
Autor: Ulixes

Vielen, vielen Dank für diese super Erklärungen schonmal! :)

Ich hab mir jetzt mal meine Zahlen vorgenommen, komm da aber zu einer kleinen Abweichung. Ich möchte das mal exemplarisch darlegen:

ausgerechnete Gleichung: [mm] z^3=0.87+0.5i [/mm]

daraus folgt: n=3; a=0.87 b=0.5i

[mm] R=\wurzel{0.83^2+0.5^2i}\approx [/mm] 1

[mm] \phi\ [/mm] = arctan [mm] (\bruch{0.5}{0.87})=30° [/mm]

--> Dieses Ergebnis ist bei mir bereits der erste Winkel?! Wenn ich den nächsten Schritt anwende, kommt ein vermeintlich falsches Ergebnis raus. Kann das sein?

r= 1

Winkel 1 = [mm] \bruch{30°}{3}= [/mm] 10°

Winkel 2 = 130°

Winkel 3 = 250°

Ich hab das mal grafisch überprüft und bei mir kommen die Winkel

30°, 150° und 270° raus. Was hab ich da falsch gemacht?


Des Weiteren hab ich das Beispiel von [mm] z^5= 16+16\wurzel{3} [/mm] genommen und alle Lösungen grafisch dargestellt, da in dem Fall der Betrag der Komplexen Zahl ja 2 war. Leider konnte ich hier keine besondere Auffälligkeit feststellen, außer dass der Radius in dem Fall auch logischerweise 2 ist. Gibt es da noch mehr, was mir bei dieser Aufgabe auffallen sollte?  

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
de Moivre Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:56 Sa 09.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Vielen, vielen Dank für diese super Erklärungen schonmal!
> :)
>
> Ich hab mir jetzt mal meine Zahlen vorgenommen, komm da
> aber zu einer kleinen Abweichung. Ich möchte das mal
> exemplarisch darlegen:
>
> ausgerechnete Gleichung: [mm]z^3=0.87+0.5i[/mm]

anstatt 0.87 solltest du besser den exakten Wert [mm] \frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] benützen

> daraus folgt: n=3; a=0.87 b=0.5i
>
> [mm]R=\wurzel{0.83^2+0.5^2i}\approx[/mm] 1   [haee]

jetzt hast du die gerundete Zahl 0.87 noch auf 0.83
abgeändert ...

> [mm]\phi\[/mm] = arctan [mm](\bruch{0.5}{0.87})=30°[/mm]
>  
> --> Dieses Ergebnis ist bei mir bereits der erste Winkel?!

Das ist der Polarwinkel [mm] \Phi [/mm] von Z = [mm] z^3 [/mm]

> Wenn ich den nächsten Schritt anwende, kommt ein
> vermeintlich falsches Ergebnis raus. Kann das sein?
>
> r= 1
>
> Winkel 1 = [mm]\bruch{30°}{3}=[/mm] 10°
>
> Winkel 2 = 130°
>
> Winkel 3 = 250°

Dies sind die richtigen Polarwinkel [mm] \varphi_i [/mm] für die
Lösungen [mm] z_i [/mm]  !


> Ich hab das mal grafisch überprüft und bei mir kommen die
> Winkel
>
> 30°, 150° und 270° raus.

Wenn du die Zahlen [mm] z_i [/mm] vom Betrag 1 und mit diesen
Winkeln in die dritte Potenz erhebst, kommst du aber
nicht zu  $\ [mm] z_i^3\ [/mm] =\ Z$  mit dem gegebenen Z ,
sondern zu $\ [mm] z_i^3\ [/mm] =\ i$    !!

> Was hab ich da falsch gemacht?  

irgendwas verwechselt ...

> Des Weiteren hab ich das Beispiel von [mm]z^5= 16+16\wurzel{3}[/mm]
> genommen und alle Lösungen grafisch dargestellt, da in dem
> Fall der Betrag der Komplexen Zahl ja 2 war. Leider konnte
> ich hier keine besondere Auffälligkeit feststellen, außer
> dass der Radius in dem Fall auch logischerweise 2 ist. Gibt
> es da noch mehr, was mir bei dieser Aufgabe auffallen
> sollte?  

Die 5 Lösungen bilden wieder einen regelmäßigen
Stern mit n=5 Strahlen , wie es sein soll ...
Wenn man die Polarwinkel dieser einzelnen Strahlen
verfünffacht, kommt man (modulo 360°) immer
auf das Ergebnis 60° (dem Polarwinkel des gegebenen Z),
eben genau so wie es sein soll ...

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                                                                
Bezug
de Moivre Theorem: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 So 10.02.2013
Autor: Ulixes


> Wenn du die Zahlen [mm]z_i[/mm] vom Betrag 1 und mit diesen
>  Winkeln in die dritte Potenz erhebst, kommst du aber
>  nicht zu  [mm]\ z_i^3\ =\ Z[/mm]  mit dem gegebenen Z ,
>  sondern zu [mm]\ z_i^3\ =\ i[/mm]    !!

Aber dann versteh ich nicht ganz, warum man hier an dieser Stelle überhaupt ein neues Z ausrechnen muss. Die Bedingung von |a+bi|=1 ist doch in diesem Fall erfüllt?! Mir geht einfach nicht ganz auf, was damit dann gewonnen ist?

> Die 5 Lösungen bilden wieder einen regelmäßigen
> Stern mit n=5 Strahlen , wie es sein soll ...
> Wenn man die Polarwinkel dieser einzelnen Strahlen
> verfünffacht, kommt man (modulo 360°) immer
> auf das Ergebnis 60° (dem Polarwinkel des gegebenen Z),
> eben genau so wie es sein soll ...

Ja genau, aber die Aufgabenstellung suggeriert doch, dass es da einen Unterschied gibt, je nachdem ob der Betrag 1 oder ungleich 1 ist?! Den kann ich irgendwie nicht finden.

Tut mir echt Leid, wenn ich mich hier ein wenig dämlich anstelle, aber ich geb mir echt Mühe die Erklärungen zu verstehen.

Bezug
                                                                                        
Bezug
de Moivre Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Mo 11.02.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> > Wenn du die Zahlen [mm]z_i[/mm] vom Betrag 1 und mit diesen
>  >  Winkeln in die dritte Potenz erhebst, kommst du aber
>  >  nicht zu  [mm]\ z_i^3\ =\ Z[/mm]  mit dem gegebenen Z ,
>  >  sondern zu [mm]\ z_i^3\ =\ i[/mm]    !!
>  
> Aber dann versteh ich nicht ganz, warum man hier an dieser
> Stelle überhaupt ein neues Z ausrechnen muss.

Es geht doch gar nicht um ein "neues Z" , sondern
um die Bestimmung der in Frage kommenden z-Werte !

(das groß geschriebene Z habe ich doch einfach für
die gegebene Zahl geschrieben, im Unterschied
zur Lösungsvariable z für den bzw. [mm] z_i [/mm] für die gesuchten Werte !)

> Die Bedingung von |a+bi|=1 ist doch in diesem Fall erfüllt?!
> Mir geht einfach nicht ganz auf, was damit dann gewonnen
> ist?
>
> > Die 5 Lösungen bilden wieder einen regelmäßigen
>  > Stern mit n=5 Strahlen , wie es sein soll ...

>  > Wenn man die Polarwinkel dieser einzelnen Strahlen

>  > verfünffacht, kommt man (modulo 360°) immer

>  > auf das Ergebnis 60° (dem Polarwinkel des gegebenen

> Z),
>  > eben genau so wie es sein soll ...

>
> Ja genau, aber die Aufgabenstellung suggeriert doch, dass
> es da einen Unterschied gibt, je nachdem ob der Betrag 1
> oder ungleich 1 ist?! Den kann ich irgendwie nicht finden.

Falls der Betrag von Z gleich 1 ist, ist einfach gleich klar,
dass auch alle Lösungswerte [mm] z_i [/mm] den Betrag 1 haben müssen.
Man muss sich in diesem Spezialfall dann nur noch um
die Winkel kümmern.

Im Fall  [mm] |Z|\not=1 [/mm]  muss man eben auch noch den Betrag
[mm] |z_i|=\sqrt[n]{|Z|} [/mm] berechnen. Natürlich schließt dieser
Fall den Spezialfall mit |Z|=1 mit ein, weshalb eine
eigentliche "Spezialbehandlung" gar nicht unbedingt
nötig ist, denn eine n-te Wurzel aus 1 ergibt ja auch
den Wert 1 ...

LG ,   Al-Chw.    


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