matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche Differentialgleichungendgl, 1 ordnung,nonlinear
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - dgl, 1 ordnung,nonlinear
dgl, 1 ordnung,nonlinear < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

dgl, 1 ordnung,nonlinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 So 06.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Lösen Sie x'(t)= x(1-x) - c.

Hallo,
Die Aufgabe bereitet eigentlich keine Probleme. Aber ich frage mich wie man auf die Lösung von wolfram alpha kommt:https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%28t%29%3D+x%281-x%29-c

Kurzform meiner Lösung:
f(x(t)):= x (1-x)-c
[mm] \int \frac{dy}{f(y)} [/mm] dy = [mm] \int \frac{x'(t)}{f(x(t))} [/mm] dt = [mm] \int [/mm] 1 dt = t +k
[mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= \frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] hab ich mittels Partialbruchzerlegung gelöst  
Nun habe ich das invertiert für eine explizite Lösung:
y= [mm] \frac{- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2} e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}+\frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}{1 - e^{- \sqrt{1-4c}(t+k)}} [/mm]

Wie kommt der tangens zustande?

LG,
Sissi

        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 So 06.03.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] \sqrt(1-4c)=i*sqrt(4c-1) [/mm]
und dann die def von tan durch die [mm] e^{ix} [/mm] Funktionen
ich habe aber nicht nachgerechnet
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mo 07.03.2016
Autor: fred97

Ist etwas über c bekannt ? Ist c>1/4, so kommst Du mit Deiner Lösung ins Komplexe und dann ist es überhaupt nicht klar, was [mm] \ln [/mm] sein soll

FRED

Bezug
                
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Mo 07.03.2016
Autor: sissile

Hallo
Ich habe:
$ [mm] \int \frac{dy}{y(1-y) -c}=\int \frac{dy}{(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})}= [/mm] - [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} dy=\frac{1}{\sqrt{1-4c}} ln(\frac{y - \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2}}{y - \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2}}) [/mm] $
für c < 1/4.


Wenn nun c>1/4 ist, kann ich den letzten Schritt so nicht durchführen:
- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + \sqrt{1-4c}}{2})} [/mm] dy=- [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 - i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dx + [mm] \int \frac{1}{\sqrt{1-4c}(y- \frac{1 + i \sqrt{-1+4c}}{2})} [/mm] dy=
[mm] \frac{1}{i\sqrt{-1+4c}} [/mm] *[- [mm] \frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_0 \pi}+\frac{1}{\frac{1}{2} ln (\frac{y^2-2y+4c}{4})+ i arctan(-\frac{\sqrt{-1+4c}}{2})+2k_1 \pi} [/mm] ]

Nun ist doch arctan(-x)=-arctan(x). Dementsprechend kann ich das Minus herausziehen bei letzten nenner.
Das scheint aber nicht sehr zielorientiert für die Lösung der Dgl zu sein! Außerdem bin ich mir unsicher ob das überhaupt simmt..
Über c weiß ich leider sonst nichts.

Bezug
                        
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Mo 07.03.2016
Autor: leduart

Hallo
du hast zu integrieren [mm] 1/(y^2-y-c)=1/(y-1/2)^2-(1/4+c)) [/mm]
durch Substitution [mm] 1/(u^2+1) [/mm] oder [mm] 1/(u^2-1) [/mm] je nach vorzeichen von 1/4+c
im ersten Fall kommst du auf arctan(u) im zweiten auf ln((x+1)/(lnx-1))
also je nach c 2 verschiedene Lösungen.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
dgl, 1 ordnung,nonlinear: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mo 07.03.2016
Autor: sissile

Vielen Dank für den Tipp. Ich war zum Ende hin wirklich etwas verwirrt wie ich das nun lösen soll. Es war zwar eine kleine Rechnerei aber mit deinen Lösungsvorschlag einfach runterzurechnen.

LG,
sissi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 11m 6. pc_doctor
UAnaR1/Rekursionsgleichung lösen
Status vor 5h 33m 17. luis52
UStat/Prüfen auf Verteilung
Status vor 5h 49m 6. Al-Chwarizmi
Mengenlehre/Mengenlehre - Operationen
Status vor 5h 57m 7. Gonozal_IX
UDiskrMath/Beweisen von Injektivität
Status vor 6h 07m 8. Gonozal_IX
UWTheo/Verteilungsfunktion berechnen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]