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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - differenzierbare Funktion
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differenzierbare Funktion: Starthilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 27.01.2015
Autor: LGS

Aufgabe
Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen $ y : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] $ , für die der Mittelwert auf jedem Intervall $ [0,x]$ mit $ [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] $ übereinstimmt.

sorry..ich hab null ahnung was ich machen muss..:/

        
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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Di 27.01.2015
Autor: leduart

Hallo
schreib die Forderung  hin, dann hast du eine Integralgleichung, daraus kannst du eine DGL machen
Gruss leduart

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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 27.01.2015
Autor: fred97

Noch ein Tipp:

Ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine integrierbare Funktion, so versteht man unter dem Mittelwert von $f$ auf $[a,b]$ das:


   [mm] $\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{f(t) dt}$. [/mm]

FRED

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differenzierbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 29.01.2015
Autor: LGS

ist die Lösung dann

[mm] $\frac{1}{x}*\integral_0^{x} [/mm] f(t) dt = [mm] \frac{1}{x}*(F(x)-F(0))= \sqrt{y(x)}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)}$ $|^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{F(x)^2-2F(x)F(0)+F(0)^2}{x^2} [/mm] = y(x) $


ist das so richtig?

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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Do 29.01.2015
Autor: fred97


> ist die Lösung dann
>  
> [mm]\frac{1}{x}*\integral_0^{x} f(t) dt = \frac{1}{x}*(F(x)-F(0))= \sqrt{y(x)}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)}[/mm]    [mm]|^2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{F(x)^2-2F(x)F(0)+F(0)^2}{x^2} = y(x)[/mm]
>  
>
> ist das so richtig?

Ja, aber so bringt Dir das nix. Du solltest y statt f schreiben !

Differenziere die Gl.

[mm]\frac{1}{x}*\integral_0^{x} y(t) dt = \sqrt{y(x)}[/mm]

Dann bekommst Du eine DGL für y

FRED


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differenzierbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Do 29.01.2015
Autor: LGS

Hi

also dann

$ [mm] \frac{-1}{x^2}\cdot{}\integral_0^{x} [/mm] y(t) [mm] dt+\frac{1}{x}*y(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\sqrt{y(x)}} [/mm] $

?

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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 29.01.2015
Autor: Leopold_Gast

Ich würde von folgender Darstellung ausgehen:

[mm]\int_0^x f(t) ~ \mathrm{d}t = x \cdot \sqrt{f(x)}[/mm]

Jetzt verschwindet das Integral beim Differenzieren.

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differenzierbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Do 29.01.2015
Autor: LGS

ist es dann  

$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $

[mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm]   $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$ [/mm]

?

also summa summarum

$ [mm] \frac{1}{x}\cdot{}\integral_0^{x} [/mm] y(t) dt = [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] $  $ |*x$


$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $

nun [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm]

deshalb $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$ [/mm]

Alle differenzierbaren Funktionen $ y : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] $  sind $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$ [/mm]  


Bezug
                                                        
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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Do 29.01.2015
Autor: leduart

Hallo
t ist doch nur die Integrationsvariable, du differenzierst nach x!  das Integral hängt nicht von t ab, sondern nur vn den Grenzen! Was sagt die Hauptsatz denn aus?
auch ddie rechte Seite hast du weder Produkt noch Kettenregel angewandt.
also versuchs noch mal langsam und gründlich.
f(t)=g(x) ist recht sinnlos, das kann nur eine konstante Funktion
vielleicht siehst du es besser wenn du deine noch richtige Formel
$ [mm] \Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)} [/mm] $ differenzierst (erst mit x multiplizieren macht es einfacher.
Gruß leduart


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differenzierbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Do 29.01.2015
Autor: LGS

also dann nach differentation und umformung hab


$f(x)-f(0) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}*x+\sqrt{y(x)} [/mm] $

raus, aber ich weis nicht wie ich dieses ergebnis interpretieren soll ..:/

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differenzierbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Fr 30.01.2015
Autor: fred97


> also dann nach differentation und umformung hab
>  
>
> [mm]f(x)-f(0) = \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}*x+\sqrt{y(x)}[/mm]
>  
> raus, aber ich weis nicht wie ich dieses ergebnis
> interpretieren soll ..:/

Gar nicht, denn es ist völlig chaotisch und falsch !

1. Warum plötzlich f ??

2. Wo kommt f(0) her ?

3. Kennst Du die Kettenregel nicht ?

Zu 1. : Die Ausgangsgleichung lautet:

$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $

Zu 2:. Wenn man in dieser Gleichung links differenziert, bekommt man y(x).

Zu 3.: Wenn man [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] differenziert, bekommt man mit der Kettenregel:

    [mm] \bruch{y'(x)}{2*\sqrt{y(x)}}. [/mm]


FRED


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