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divisivele kommensurabele GB: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mo 13.02.2017
Autor: Schobbi

Hallo zusammen, ich habe mich mit Größenbereichen beschäftigt und möchte nun auf Nummer sicher gehen, ob ich divisible und kommensurable Größenbereiche verstanden habe und bitte um eine kleine Rückmeldung - DANKE!

divisibel, d.h jede Größe a [mm] \in [/mm] G lässt sich stets in n [mm] \in \IN [/mm] gleiche Teile teilen, also a=n*x, mit x [mm] \in [/mm] G

kommensurabel, d.h. zwei Größen a,b [mm] \in [/mm] G haben ein rationales Verhältnis bzw. jede Größe aus G lässt sich durch jede andere Größe aus G mit rationaler Maßzahl ausdrücken: [mm] a=\bruch{n}{m}*b, [/mm] wobei m,n [mm] \in \IN [/mm]

Betrachtet man nun gängige Größenbereiche, so lässt sich festhalten:

Längen, Flächen, Volumina sind zwar divisibel, weil ich all diese beliebig oft zerteilen kann, aber inkommensurabel, weil ich z.B. die Diagonalenlänge des Einheitsquadrats nicht als rationales Vielfaches der Seitenlänge darstellen kann [mm] (\sqrt{2} \not\in \IQ) [/mm]

Geldwerte sind zwar kommensurabel, weil ich jeden Geldbetrag als rationales vielfaches von 1ct darstellen kann, aber nicht divisibel weil ich 1ct nicht mehr teilen kann.

Soweit hab ich das verstanden, aber wie sieht das mit der Zeitdauer aus?
Diese ist divisibel weil ich sie auch immer wieder in Kleinere zerlegen bzw. teilen kann, aber was ist mit Kommensurabilität?

Vielen Dank für Eure Hilfe

PS: Noch eine kleine Frage: Temperaturen in °C sind kein Größenbereich, dass ist klar, da durch die negativen Zahlen die Lösbarkeitseigenschaft verletzt ist. Aber wie sieht das mit der Temperatur in Kalvin aus? Das müsste doch ein Größenbereich sein, oder?


        
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divisivele kommensurabele GB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mo 13.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

mal ein Versuch einer ersten Antwort auf diese sehr interessanten Fragen (von denen man wünschen würde, dass sie nicht nur von Didaktikern erörtert sondern in der Schule ausführlich behandelt würden).

Den Begriff der Kommensurabilität hast du schon richtig zugeordnet und wohl auch verstanden. Wenn du noch den Zusammenhang zur Überabzählbarkeit berücksichtigst und damit bspw. zu [mm] \IR, [/mm] dann beantworten sich die Fragen zur Kommensurabilität von (Mess-) Größen wie Temperatur und Zeit von selbst (negativ).

So viel für heute Abend vom Smartphone aus. Bei Interesse würde ich hier in den nächsten Tagen bei weiteren Rückfragen gerne auch selbst ein wenig recherchieren um nach Möglichkeit gründlicher antworten zu können.

Gruß, Diophant

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divisivele kommensurabele GB: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Di 14.02.2017
Autor: Schobbi

Super, vielen Dank für deine Rückmeldung, der Hinweis auf die Überabzählbarkeit hat durchaus zum Verständnis beigetragen, denn die Temperatur oder Zeitdauer von z.B. 1,414... = [mm] \sqrt{2} [/mm] kann es ja geben, ich kann diese aber nicht als rationales Vielfaches von einer anderen Größe darstellen :-)

Mal ganz davon abgesehen, dass [mm] \sqrt{2} [/mm] Kelvin, also knapp -272°C auch viel zu kalt wäre :-)




Bezug
                        
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divisivele kommensurabele GB: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Di 14.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Super, vielen Dank für deine Rückmeldung, der Hinweis auf
> die Überabzählbarkeit hat durchaus zum Verständnis
> beigetragen, denn die Temperatur oder Zeitdauer von z.B.
> 1,414... = [mm]\sqrt{2}[/mm] kann es ja geben, ich kann diese aber
> nicht als rationales Vielfaches von einer anderen Größe
> darstellen :-)

das ist aber alles eine Frage der Definition… meines Wissens geht man auch in der aktuellen Physik davon aus, dass die Zeit "gequantelt" ist. Siehe dazu auch []Planck-Zeit mit dem interessanten Fakt: "Bei kleineren Zeitintervallen verliert die Zeit ihre vertrauten Eigenschaften als Kontinuum. Sie würde quantisieren, d. h. Zeit liefe unterhalb der Planck-Zeit in diskreten Sprüngen ab."

Die Frage hat also durchaus Diskussionspotential :-)

Gruß,
Gono

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divisivele kommensurabele GB: Philosophisches
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Di 14.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> > Super, vielen Dank für deine Rückmeldung, der Hinweis auf
> > die Überabzählbarkeit hat durchaus zum Verständnis
> > beigetragen, denn die Temperatur oder Zeitdauer von z.B.
> > 1,414... = [mm]\sqrt{2}[/mm] kann es ja geben, ich kann diese aber
> > nicht als rationales Vielfaches von einer anderen Größe
> > darstellen :-)

>

> das ist aber alles eine Frage der Definition… meines
> Wissens geht man auch in der aktuellen Physik davon aus,
> dass die Zeit "gequantelt" ist. Siehe dazu auch
> []Planck-Zeit mit
> dem interessanten Fakt: "Bei kleineren Zeitintervallen
> verliert die Zeit ihre vertrauten Eigenschaften als
> Kontinuum. Sie würde quantisieren, d. h. Zeit liefe
> unterhalb der Planck-Zeit in diskreten Sprüngen ab."

>

> Die Frage hat also durchaus Diskussionspotential :-)

Daran habe ich gestern Abend in der Tat auch gedacht. Und diese Dinge haben ja durchaus auch philosophisches Potential: man denke an die Pythagoreische Lehre, wonach alles Göttliche in der Welt sich in Form einfacher ganzzahliger Zahlverhältnisse manifestiert (abgeleitet wohl von der Musik der Saiteninstrumente, führte diese Anschauung ja zu der berühmten Sinnkrise der Pythagoräer im Zusammenhang mit der Entdeckung der Inkommensurabilität von Grundseite und Diagonale des Quadrats, die ja auch der Themenstarter angesprochen hat). Also die Welt des Abzählbaren war sozusagen das Göttliche, die Inkommensurabilität oder schlichtweg Überabzählbarkeit (welche das antike Griechenland wohl noch nicht erfassen konnte, wie bspw. das berühmte Paradoxon von Achilles und der Schildkröte des Zenon von Elea aufzeigt), war sozusagen vom Übel oder wenigstens eine 'weltliche Unzulänglichkeit'.

Natürlich sind wir heutzutage (völlig zu Recht) über solche Sichtweisen der Mathematik hinweg. Und doch: wenn man sich daran erinert, dann ist das, was in der modernen Physik gerade immer mehr passiert, eine Umkehr dieser alten antiken Prämisse: während die materiell im Sinne der Physik existierende Welt sich immer mehr als 'abzählbar' herausstellt (wobei das mit der Planck-Zeit bis jetzt eine rein theoretische Messproblematik ist, so viel ich weiß), scheint es immer mehr so zu sein, dass das Prinzip des Kontinuums nur einen einzigen Platz im Universum hat: in unserem Geist.

Bevor das jetzt von gewissen Rechenhilfsmittel-Meistern wieder falsch verstanden wird möchte ich gleich anmerken, dass dies persönliche Gedankengänge zu einem der faszinierendsten Themen der Mathematik sind, die keinesfalls wissenschaftlichen Ansprüchen genügen sollen, die niemanden beeinflussen sollen sondern höchstens den einen oder anderen Denkanstoß liefern mögen.


Gruß, Diophant 

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