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Forum "mathematische Statistik" - drittes Moment und Dichtefunkt
drittes Moment und Dichtefunkt < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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drittes Moment und Dichtefunkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:03 Mi 02.05.2007
Autor: ted-e

Aufgabe
Warum gilt für:
E(U + [mm] \gamma [/mm] )³ < [mm] \infty [/mm] dass   [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x²h(x)=0 ?
h(x) ist eine Dichtefunktion von P(U + [mm] \gamma \le [/mm] x)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

Wenn das dritte Moment endlich ist, heißt dies doch, dass die Dichtefunktion am Rand, also bei oo gegen 0 geht. Oder?
Ich habe dann versucht über eine Grenzwertbetrachtung (oo²*0) auf das Ergebnis zu kommen. Ohne Erfolg. Ich denke daher, meine Überlegung war quatsch.
Kann mir einer evtl sagen, warum man diese obige Annahme so treffen kann?

Danke

        
Bezug
drittes Moment und Dichtefunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Mi 02.05.2007
Autor: DirkG

Die Behauptung ist schlichtweg falsch:

Man kann z.B. folgende Dichte betrachten
$$h(x) = [mm] \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; k-2^{-k} \leq x\leq k\;,\;\mbox{wobei}\;k=1,2,\ldots\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases}$$ [/mm]
Dann existieren sogar das m-te Moment
[mm] $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} [/mm] ~ x^mh(x) ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \int\limits_{k-2^{-k}}^{k} [/mm] ~ [mm] x^m [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] < [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] 2^{-k} k^m [/mm] < [mm] \infty$$ [/mm]
für alle [mm] $m\geq [/mm] 1$.

Andererseits existiert keiner der Grenzwerte [mm] $\lim\limits_{x\to\infty} [/mm] x^mh(x)$, für kein einziges [mm] $m\geq [/mm] 0$.

Zu retten ist das ganze höchstens mit weiteren Zusatzvoraussetzungen für $h(x)$, z.B. "monoton fallend" o.ä.

Bezug
                
Bezug
drittes Moment und Dichtefunkt: Rückfrage und Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Mi 02.05.2007
Autor: ted-e

edit
Bezug
                
Bezug
drittes Moment und Dichtefunkt: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Mi 02.05.2007
Autor: ted-e

edit
Bezug
        
Bezug
drittes Moment und Dichtefunkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 05.05.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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