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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - exp(G) = max{ord(g) : g in G}
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exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:44 Fr 18.04.2014
Autor: Differential

Aufgabe
Sei $G$ eine endliche abelsche Grupp. Dann gilt:
          [mm] $m=\text{kgV }\left\{\text{ord g}:g\in G\right\}=\text{max }\left\{\text{ord g}:g\in G\right\}=k$ [/mm]


Sei $n:=|G|$. Da
          [mm] $g^n=1$ $\forall g\in [/mm] G$
gilt
          [mm] $\text{ord }g\;|\;n$ $\forall g\in [/mm] G$
Das bedeutet, dass $n$ gemeinsames Vielfaches aller Elementordnungen ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm]
          [mm] $k\;|\;n$ [/mm]

An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie zeige ich, dass $m=k$ sein muss? Hoffe ihr habt eine Idee.

Liebe Grüße und noch einen schönen Feiertag.
Differential

        
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Fr 18.04.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hi nochmal,

Habe Blödsinn geschrieben. Kennst du die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen? Damit solltest du es zeigen können.

Liebe Grüße und sry nochmal ;-)
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Fr 18.04.2014
Autor: Differential

Hallo,

du meinst, dass die endlichen abelschen Gruppen als direktes Produkt zyklischer Untergruppen dargestellt werden können?

Mir ist nicht klar, wie genau mir das hier weiterhilft.

Gruß
Differential

Bezug
                        
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Fr 18.04.2014
Autor: UniversellesObjekt

Ja. Genauer kannst du die Gruppe als direkte Summe ihrer $ p $-Gruppen für paarweise verschiedene Primzahlen $ p $ schreiben und jede von diesen als direkte Summe zyklischer Gruppen. Jede dieser $ p $-Gruppen hat dann offenbar als Exponent das Maximum der Elementordnungen. Außerdem verhalten sich sowohl Exponent, als auch Elementordnungen multiplikativ in dem Sinne, dass $ exp [mm] (H\oplus [/mm] K)=exp (H) exp (K) $ gilt, für $ exp (H) $ teilerfremd zu $ exp (K) $, gilt, und $ ord (g+h)=ord (g) ord (h)$ gilt, falls ord (g) und ord (h) teilerfremd sind. Ich habe alles additiv geschrieben, ich hoffe, das macht dir nichts aus.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Fr 18.04.2014
Autor: Differential

Also: $G$ ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die von $m$ Elementen ($m$ minimal) erzeugt werde. Es gibt [mm] $0\le r\le [/mm] m$, [mm] $n_1,\ldots,n_r\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $n_i \;|\;n_{i+1}$ [/mm] und
          [mm] $G\cong C_{n_1}\oplus \cdots \oplus C_{n_r}\oplus \mathbb{Z}^{m-r}$ [/mm]

Was folgt daraus nun genau? Ich habe schon im Eingangsbeitrag festgestellt, dass [mm] $k=\text{kgV }\left\{\text{ord }\sigma : \sigma\in G\right\}$ [/mm] ein Teiler von $m:=|G|$ ist. Das bedeutet dann, dass $k [mm] \;|\; n_i$ [/mm] für alle [mm] $n_i$ [/mm] gelten muss, richtig?

Was kann ich aufgrund der Isomorphie oben über die Ordnung der Gruppenelemente sagen?

Gruß
Differential

Bezug
                                        
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Fr 18.04.2014
Autor: felixf

Moin Differential!

> Also: [mm]G[/mm] ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die von
> [mm]m[/mm] Elementen ([mm]m[/mm] minimal) erzeugt werde. Es gibt [mm]0\le r\le m[/mm],
> [mm]n_1,\ldots,n_r\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n_i \;|\;n_{i+1}[/mm] und
>            [mm]G\cong C_{n_1}\oplus \cdots \oplus C_{n_r}\oplus \mathbb{Z}^{m-r}[/mm]
>  
> Was folgt daraus nun genau?

Zeige zwei Dinge:

(i) die Ordnung eines jedes Elementes in $G$ teilt [mm] $n_r$; [/mm]
(ii) es gibt in $G$ ein Element der Ordnung [mm] $n_r$. [/mm]

Daraus folgt sofort die Behauptung.

> Ich habe schon im
> Eingangsbeitrag festgestellt, dass [mm]k=\text{kgV }\left\{\text{ord }\sigma : \sigma\in G\right\}[/mm]
> ein Teiler von [mm]m:=|G|[/mm] ist.

Ja.

> Das bedeutet dann, dass [mm]k \;|\; n_i[/mm]
> für alle [mm]n_i[/mm] gelten muss, richtig?

Nein. Es gilt nur $k [mm] \mid n_r$ [/mm] (genauer: $k = [mm] n_r$), [/mm] und $k [mm] \mid n_i$ [/mm] gilt nur genau dann, wenn [mm] $n_i [/mm] = [mm] n_r$ [/mm] ist (das kann fuer mehr als ein $i$ der Fall sein).

> Was kann ich aufgrund der Isomorphie oben über die Ordnung
> der Gruppenelemente sagen?

Isomorphismen erhalten die Elementordnung. Also $ord(g) = [mm] ord(\varphi(g))$ [/mm] fuer jeden Isomorphismus [mm] $\varphi$. [/mm]

Die Behauptung fuer $G$ zu zeigen ist also genau das gleiche, als die Behauptung fuer [mm] $C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$ [/mm] zu zeigen (wenn $G [mm] \cong C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$). [/mm] Und im Produkt [mm] $C_{n_1} \times \dots \times C_{n_r}$ [/mm] ist die Behauptung ziemlich einfach zu zeigen (siehe (i) und (ii) oben).

LG Felix


Bezug
                                                
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exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:52 Sa 19.04.2014
Autor: Differential

Hallo Felix,

zu (i): Für jedes [mm] $g\in C_{n_i}$ [/mm] gilt [mm] $\text{ord }g\;|\;n_i\;|\;n_r$. [/mm] Aber nicht jedes [mm] $g\in C_{n_1}\oplus\cdots\oplus C_{n_r}$ [/mm] muss in einem [mm] $C_{n_i}$ [/mm] liegen. Warum folgt, dass [mm] $\text{ord }g\;|\;n_r$ [/mm] gilt?

zu (ii): Das scheint mir im Produkt der [mm] $C_{n_i}$ [/mm] trivial zu sein - wie "zeige" ich das?

Liebe Grüße
Toasten

Bezug
                                                        
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exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:49 Sa 19.04.2014
Autor: Differential

Also (i) habe ich jetzt zeigen können. Aber warum muss es ein Element mit Ordnung [mm] $n_r$ [/mm] geben?

Gruß
Differential

Bezug
                                                        
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Mo 21.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
exp(G) = max{ord(g) : g in G}: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 20.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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