matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenExtremwertproblemeextremwertproblem 3
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Extremwertprobleme" - extremwertproblem 3
extremwertproblem 3 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

extremwertproblem 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mi 13.10.2004
Autor: anika87

hallo...
und schon wieder sitz ich vor den Hausaufgaben und bekomme  nichts hin.Vielleicht sollte ich wirklich mal an Nachhilfe denken..
also so ist die aufgabe:

Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis.Wähle die Maße dieses Rechtecks, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird...

Text aufgaben sind so grauenhaft !!!!
anika

        
Bezug
extremwertproblem 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 13.10.2004
Autor: Hanno

Grüß dich Annika!

Also, bei solchen Aufgaben musst du im Allgemeinen erstmal schauen, was du optimieren sollst: in deiner Aufgabe ist es der Flächeninhalt des Querschnittes des Kanales. Unabhängig davon: wichtig ist, dass du diese zu optimierende Variable mit den anderen Bezeichnungen ausdrücken kannst. Beispiel: der Flächeninhalt eines Rechteckes ist für Seitenlängen a und b exakt [mm] $a\cdot [/mm] b$ (ich weiß, lächerliches Beispiel, aber du sollst es dir ja klar machen). Oder aber der Flächeninhalt des Kanalquerschnittes. Den kannst du ausrechnen, indem du den Flächeninhalt des Rechteckes nimmst und den des Halbkreises addierst. Es ergibt sich also: [mm] $A=a\cdot b+\frac{\pi\cdot r^2}{2}$. [/mm]
Das war der erste Schritt.
Im zweiten musst du nun dafür sorgen, dass du die Gleichung für die zu optimierende Variable nur von einer einzigen anderen Variable abhängig machst. So ist es nicht möglich, eine sinnvolle Analyse der Funktion [mm] $A(a,b,r)=a\cdot b+\frac{\pi\cdot r^2}{2}$ [/mm] durchzuführen. Du musst also schauen, was dir noch gegeben ist, bzw. wie du die Variablen so von den anderen ausdrücken kannst, dass letztenendes nur noch eine Funktion abhängig von einer Veränderlichen vorliegt.
Genau das kannst du in dem Beispiel schön machen:
Du hast den Umfang des gesamten Kanalquerschnittes, der sich aus der Summe der Breite des Kanales, zwei mal der Höhe des Rechteckes und dem Umfang des Halbkreises zusammensetzt. Es gilt also (für a als Breite, b als Höhe und r als Radius): [mm] $U=a+2b+\frac{2\pi r}{2}$. [/mm] Dies stellst du jetzt nach einer der Variablen um, z.B. nach [mm] b:$\gdw b=\frac{U-a-\pi r}{2}$. [/mm] Damit hast du schon eine Variable eliminiert und kannst den Term für $b$ in die Ausgangsfunktion einsetzen: [mm] $A(a,r)=a\left(\frac{U-a-\pi r}{2}\right)+\pi r^2$. [/mm] Der letzte Schritt ist auch nicht mehr schwer: der Radius des Beckens ist die Hälfte der Breite des Kanales, also folglich [mm] $r=\frac{a}{2}$. [/mm] Setzt du auch dies ein so erhältst du schließlich die Funktion, die nur noch von einer Veränderlichen abhängt (bedenke: U ist keine Veränderliche, sondern vorgegeben) und die du nun untersuchen kannst:

[mm] $A(a)=a\left(\frac{U-a-\pi \frac{a}{2}}{2}\right)+\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2$ [/mm]

Schaffst du es nun, die zu analysieren?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]