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Forum "Funktionalanalysis" - f in Lp
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f in Lp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 12.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
(i) Für welche \alpha \in \IR und 1 \le p \le \infty ist f : x \mapsto x^{\alpha} in
L_{p}(0, 1)?
(ii) Sei [mm] \Omega [/mm] beschränkt. Zeigen Sie, dass für f \in L_{p}(\Omega ) auch f \in L_{q}(\Omega ), q \le p gilt.
Benutzen Sie hierzu die Hölder Ungleichung

\int_{\Omega} |fg| \mathrm dx \leq \left(\int_{\Omega} |f|^p \mathrm dx \right)^{\tfrac 1p}\cdot \left(\int_{\Omega} |g|^q \mathrm dx \right)^{\tfrac 1q} für <mm>[mm] \frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} [/mm] = 1

Bemerkung: Für p = q = 2 erhält man wieder die Cauchy-Schwarz Ungleichung.



OK Im Teil (i) ist mir intuitiv klar dass für jedes \alpha \in \IR_{+} das Integral höchstens 1 werden kann, aber wie kann man das in einen Beweis giessen?

Bei zwei kann man einfach f = g setzen und erhält dann die Hölder Ungleichung einfach mit   ||ff||_{1} \le ||f||_{p}||f||_{q}. Reicht das als Beweis? Bzw ist nich sowieso L_{q}\subseteq L_{p}?

        
Bezug
f in Lp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 12.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> OK Im Teil (i) ist mir intuitiv klar dass für jedes \alpha \in \IR_{+} das Integral höchstens 1 werden kann, aber wie kann man das in einen Beweis giessen?

Es soll aber [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] betrachtet werden.
Die solltest du also gesondert betrachten.

Für [mm] $\alpha [/mm] in [mm] \IR_+$ [/mm] kannst du doch einfach abschätzen: Es gilt [mm] $x^\alpha \le 1^\alpha [/mm] = 1$ und dann einfach das Integral nach oben abschätzen.

> Bei zwei kann man einfach f = g setzen und erhält dann die Hölder Ungleichung einfach mit  ||ff||_{1} \le ||f||_{p}||f||_{q}.

Kann man so machen.

> Reicht das als Beweis?

Nö. Damit hast du doch nur gezeigt, dass [mm] $||f||_{2}^2 \le ||f||_{p}||f||_{q}$ [/mm]
Was bringt dir das? Nix, da du nichts über [mm] $||f||_{q}$ [/mm] weißt.
Theoretisch könnte da also stehen [mm] $||f||_{2}^2 \le \infty$ [/mm] was ziemlich nichtssagend ist…

> Bzw ist nich sowieso L_{q}\subseteq L_{p}?

Was ist denn "sowieso"?
Und das ist eine ziemlich starke Behauptung, die du sicherlich beweisen kannst… oder auch nicht.
Beachte: Es gilt [mm] $q\le [/mm] p$ also bspw. $q=1$ und $p=2$.
Du behauptest jetzt also, dass "sowieso" gilt [mm] $L_1 \subseteq L_2$ [/mm]

Wenn wir das jetzt mal stochastisch betrachten, behauptest du also, dass jede Zufallsvariable, die einen Erwartungswert hat, auch eine Varianz besitzt.
Was wohl die von dir ausgegrenze []Cauchy-Verteilung dazu sagt.

Aber zurück zur Aufgabe: Es ist zu zeigen: Ist $f [mm] \in L^p$ [/mm] und [mm] \Omega [/mm] beschränkt, so gilt [mm] $f\in L^q$ [/mm] für [mm] $q\le [/mm] p$ (also eigentlich die andere Inklusion!).

Wir wollen also eine Aussage über [mm] f^q [/mm] treffen, wende also die Hölderungleichung mal auf [mm] $\tilde{f} [/mm] = [mm] f^q$ [/mm] und [mm] $\tilde{g} \equiv [/mm] 1$ an, für [mm] $\tilde{p} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm]
Da du für die Höldergleichung und die Aufgabe die selben Bezeichnungen gewählt hast, hab ich die Hölder-Variablen mal getildet.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
f in Lp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Mo 13.11.2017
Autor: sanadros

OK thx hat so weit geholfen.> Hiho,


Bezug
        
Bezug
f in Lp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Mo 13.11.2017
Autor: fred97

Zu (ii) hat Dir Gono schon das Wesentliche gesagt.

Zu (i): Gono hat Dir schon gesagt, dass der Fall $ [mm] \alpha \ge [/mm] 0$ klar ist.

Sei also  [mm] \alpha<0. [/mm] Ich behandle hier den Fall p < [mm] \infty. [/mm] (Den Fall p= [mm] \infty [/mm] überlasse ich Dir). Mit b=- [mm] \alpha [/mm] ist b>0 und [mm] |f|^p=\frac{1}{x^{bp}} [/mm]

Damit haben wir:

f [mm] \in L_{p}(0, [/mm] 1)  [mm] \gdw [/mm] das uneigentliche Riemannintegral  [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x^{bp}} dx} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] bp<1.



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