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f stetig in 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mi 06.05.2015
Autor: ms2008de

Aufgabe
Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion, sodass für jede Nullfolge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] existiert. Zeige, dass die Funktion f stetig in a=0 ist.


Hallo,

hab hier leider wieder paar Schwierigkeiten auf den Ansatz zu kommen.
Also ich weiß, dass f stetig in a =0 ist, wenn [mm] \forall (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0). [/mm]
Also ist zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0), [/mm] doch hier hänge ich, trotz dass bei der Aufgabe der Hinweis steht, man solle für 2 Nullfolgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN}, (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] die Folge betrachten: [mm] (a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2},...). [/mm]
Inwiefern hilft mir das hier weiter?

Viele Grüße und danke schon mal im voraus.

        
Bezug
f stetig in 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mi 06.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mache dir erstmal klar, was denn eigentlich das Problem bei der Aufgabe ist:

>  Also ist zu zeigen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0),[/mm] doch hier hänge ich

Ja, erste Frage an dich: Was ist denn f(0)? Es ist ja keine konkrete Funktion gegeben und trotzdem kannst du das hier mehr oder weniger direkt angeben.

Das hilft dir vielleicht, wenn du dir folgende Gedanken machst: Nehmen wir uns mal zwei Nullfolgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$. [/mm]

Nun wissen wir nach Voraussetzung, dass $h := [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n)$ [/mm] und $g := [mm] \lim_{n\to\infty} f(b_n)$ [/mm] existieren, aber muss auch g=h gelten??

Ich behaupte nun $g [mm] \not= [/mm] h$.
Widerlege mich!

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
f stetig in 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Mi 06.05.2015
Autor: ms2008de

Hallo,
> Hiho,
>  
> mache dir erstmal klar, was denn eigentlich das Problem bei
> der Aufgabe ist:
>  
> >  Also ist zu zeigen, dass

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0),[/mm] doch hier hänge
> ich
>  
> Ja, erste Frage an dich: Was ist denn f(0)?

f(0) = c [mm] \in \IR [/mm] , also eine reelle Zahl... Kann mir vorstellen dass du drauf hinaus willst, dass [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n) [/mm] also nicht nur existieren, sondern weder [mm] \infty [/mm] noch [mm] -\infty [/mm] sein muss.
Da [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n) [/mm] für jede Nullfolge existiert, gilt insbesondere für den Fall [mm] a_{n} [/mm] = 0:  [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n)= \lim_{n\to\infty} [/mm] f(0) = f(0)

> Das hilft dir vielleicht, wenn du dir folgende Gedanken
> machst: Nehmen wir uns mal zwei Nullfolgen [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm].
>  
> Nun wissen wir nach Voraussetzung, dass [mm]h := \lim_{n\to\infty} f(a_n)[/mm]
> und [mm]g := \lim_{n\to\infty} f(b_n)[/mm] existieren, aber muss
> auch g=h gelten??
>  
> Ich behaupte nun [mm]g \not= h[/mm].
>  Widerlege mich!

Ich muss also nun zeigen, dass [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_n) [/mm] für jede beliebige Nullfolge [mm] a_{n} [/mm] den selben Grenzwert besitzt. Wenn das gilt, folgt aus dem, was ich oben geschrieben hab: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0) [/mm] und damit wäre f stetig in 0. Doch wie ich hier konkret ansetzen soll, damit wie du geschrieben hast, folgt dass g=h gilt, da hab ich leider noch keine konkrete Idee. Kann mir vorstellen, dass es ähnlich geht, wie beim Beweis, die Eindeutigkeit des Grenzwerts einer konvergenten Folge zu zeigen.
Doch im Unterschied dazu, hab ich hier ja gleich 2 verschiedene Folgen und dazu ist noch nicht gesagt, dass der Grenzwert endlich ist.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
f stetig in 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Mi 06.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich muss also nun zeigen, dass [mm]\lim_{n\to\infty} f(a_n)[/mm] für jede beliebige Nullfolge [mm]a_{n}[/mm] den selben Grenzwert besitzt.

[ok]

> Wenn das gilt, folgt aus dem, was ich oben geschrieben hab: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0)[/mm] und damit wäre f stetig in 0.

> Doch wie ich hier konkret ansetzen soll, damit wie du geschrieben hast, folgt dass g=h gilt, da hab ich leider noch keine konkrete Idee.

Dafür war der Hinweis da. Nimm an [mm] $g\not=h$ [/mm] und betrachte die Folge [mm] $(a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots)$. [/mm] Leite dann einen Widerspruch her.

> Kann mir vorstellen, dass es ähnlich geht, wie beim Beweis, die Eindeutigkeit des Grenzwerts einer konvergenten Folge zu zeigen.

Na dann los.

>  Doch im Unterschied dazu, hab ich hier ja gleich 2 verschiedene Folgen und dazu ist noch nicht gesagt, dass der Grenzwert endlich ist.

Das spielt zwar keine Rolle, ist aber in "der Grenzwert existiert" enthalten.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
f stetig in 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mi 06.05.2015
Autor: ms2008de

Hallo,

> > Ich muss also nun zeigen, dass [mm]\lim_{n\to\infty} f(a_n)[/mm]
> für jede beliebige Nullfolge [mm]a_{n}[/mm] den selben Grenzwert
> besitzt.
>  [ok]
>  
> > Wenn das gilt, folgt aus dem, was ich oben geschrieben hab:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})=f(0)[/mm] und damit wäre f
> stetig in 0.
>
>
> Dafür war der Hinweis da. Nimm an [mm]g\not=h[/mm] und betrachte
> die Folge [mm](a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots)[/mm]. Leite dann einen
> Widerspruch her.
>  
> > Kann mir vorstellen, dass es ähnlich geht, wie beim
> Beweis, die Eindeutigkeit des Grenzwerts einer konvergenten
> Folge zu zeigen.
>  
> Na dann los.
>  
> >  Doch im Unterschied dazu, hab ich hier ja gleich 2

> verschiedene Folgen und dazu ist noch nicht gesagt, dass
> der Grenzwert endlich ist.
>  
> Das spielt zwar keine Rolle, ist aber in "der Grenzwert
> existiert" enthalten.
>  

Tut mir leid, aber die letzten Hinweise helfen mir ehrlich gesagt leider überhaupt nicht weiter.
Vielleicht bin ich gerade zu festgefahren darin, die Analogie zum Beweis zu suchen, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig ist. Dieser lautet ja: Ang. für [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] gibt es 2 verschiedene Grenzwerte a, b. Dann sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{|a-b|}{2} [/mm] und es gibt 2 natürliche Zahlen [mm] n_{\varepsilon} [/mm] , [mm] n_{\varepsilon}' [/mm] , sodass [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge n_{\varepsilon} [/mm] und [mm] |a_{n}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge n_{\varepsilon}'. [/mm] Setze N = [mm] max\{n_{\varepsilon} , n_{\varepsilon}'\} [/mm] dann gilt: |a-b| [mm] \le |a-a_{N}|+|a_{N}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] = |a-b| und daraus folgt dann der Widerspruch.
Doch kann ich hier ja gar nicht |g-h| betrachten, da ja nicht ausgeschlossen ist, dass g oder h [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] ist und allein schon deswegen kann ich ja auch nicht nach passendem [mm] \varepsilon [/mm] suchen für [mm] |f(a_{n})-g| [/mm] bzw. [mm] |f(b_{n})-h|. [/mm] Wär schön, wenn mir noch jemand einen Tipp geben könnte. Danke jedenfalls schon mal im voraus.

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
f stetig in 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 06.05.2015
Autor: fred97

Vorausgesetzt ist:

für jede Nullfolge $ [mm] (a_{n}) [/mm] $ ex. der Grenzwert $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] $.

nennen wir diesen Limes [mm] L(a_n). [/mm]

Nun sei [mm] (b_n) [/mm] eine weitere Nullfolge. Nach Vor. ex. [mm] L(b_n)= \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_{n}). [/mm]


Ziel: [mm] L(a_n)=L(b_n). [/mm]

Dann definieren wir die Folge [mm] (c_n) [/mm] durch


   [mm] (c_n)=(a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,....). [/mm]

[mm] (c_n) [/mm] ist ohne Zweifel eine Nullfolge. Nach Vor. ex. [mm] L(c_n)= \limes_{n\rightarrow\infty} f(c_{n}). [/mm]

[mm] (a_n) [/mm] ist eine Teilfolge vom [mm] (c_n), [/mm] also ist auch [mm] (f(a_n)) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (f(c_n)), [/mm] also haben wir:

     [mm] L(a_n)=L(c_n). [/mm]

Weil [mm] (b_n) [/mm] ebenfalls eine Teilfolge [mm] von(c_n) [/mm] ist, sieht man genauso:

     [mm] L(b_n)=L(c_n). [/mm]

Und Bingo !  Wir hbe unser Ziel erreicht:

       [mm] L(a_n)=L(b_n). [/mm]

FRED



Bezug
                                                
Bezug
f stetig in 0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Mi 06.05.2015
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Vorausgesetzt ist:
>  
> für jede Nullfolge [mm](a_{n})[/mm] ex. der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm].
>  
> nennen wir diesen Limes [mm]L(a_n).[/mm]

nur so ein didaktischer Hinweis, weil mich das beim ersten Lesen irritiert
hat:
Vielleicht sollte man anstatt

    [mm] $L(a_n)$ [/mm]  

besser [mm] $L(\,f(a_n)\,)$ [/mm] oder [mm] $L_f(a_n)$ [/mm] oder [mm] $L(f;a_n)$ [/mm] schreiben.

Bei [mm] $L(a_n)$ [/mm] denke ich irgendwie automatisch an "Limes der Folge [mm] $(a_n)$" [/mm] ^^

Aber das kann ja jemand für sich selbst *ergänzen*.

Gruß,
  Marcel

Bezug
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