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Forum "Uni-Analysis" - frechet-differenzierbarkeit
frechet-differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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frechet-differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Do 03.07.2003
Autor: dizzie

hallo...!

ich hab jetzt in verschiedenen büchern nachgeschlagen und überall 'ne andere antwort bekommen, also frag ich hier noch mal...

kann mir mal bitte jemand möglichst einfach erklären, wann eine funktion frechet-stetig, bzw. frechet-differenzierbar ist...?

und wann genau ein integral ein riemann-integral ist...?

danke schon mal... :)


        
Bezug
frechet-differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Do 03.07.2003
Autor: Marc

Hallo dizzie,

willkommen im MatheRaum :-)!

Den Begriff frechet-stetig kenne ich nicht.

Frechet-differenzierbar ist gleichbedeutend mit total differenzierbar.

Kennst du den Begriff des totalen Differentials?
Das hat ähnliche Eigenschaften wie die bekannte Entsprechung im eindimensionalen Fall, und ist damit so zu sagen die Erweiterung dieses Differenzierbarkeitsbegriffs auf Abbildungen von Vektorräumen (also [mm] f: G \mapsto W [/mm], wobei G und W (endlichdimensionale) Vektorräume).

Falls du näheres zum totalen Differential wissen willst, melde dich bitte wieder, aber vielleicht hilft dir das ja schon weiter.

Zu Riemann-Integralen schreibe ich gleich noch was.

Bis gleich,
Marc


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Bezug
frechet-differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Do 03.07.2003
Autor: Marc

Hallo dizzie,

> ich glaube, ich hab das auch einigermaßen verstanden, also
> frechet-differenzierbarkeit ist im prinzip die normale differenzierbarkeit, nur
> im mehrdimensionalen raum... das mit dem totalen differential sagt mir auch
> was...
> wie weise ich nun die differenzierbarkeit einer funktion im
> mehrdimensionalen raum mathematisch korrekt nach...?

Hast du denn eine Definition zur totalen/Frechet Differenzierbarkeit vorliegen? Dort wird ja wahrscheinlich gesagt (siehe meine Def. unten), dass die Abbildung f total diffbar ist, wenn es eine lineare Abb. [mm] A: \IR^n \mapsto \IR^m [/mm] gibt, so daß der Grenzwert eines bestimmten Ausdrucks Null wird.

Also mußt du zeigen, dass es eine solche lineare Abbildung gibt.

Oder du wendest einen der Sätze zur totalen Diffbarkeit an, z.B. den, dass eine Abbildung f genau dann diffbar ist, wenn die Komponentenfunktionen [mm] f_i [/mm] von [mm] f [/mm] total diffbar sind.

Bei welcher Aufgabe stellt sich denn deine Frage bzw. poste doch mal eine Aufgabe, wo die totale Diffbarkeit gezeigt werden muß.

Damit wir über das gleiche sprechen, hier eine Definition der totalen Diffbarkeit, zititert aus "Vieweg Mathematik Lexikon":

Sei [mm] U \subset \IR^n [/mm] offen und [mm] f: U \mapsto \IR^m [/mm] eine Abbildung.
Dann heißt [mm]f[/mm] in [mm] x \in U[/mm] differenzierbar oder total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung [mm] A:\IR^n \mapsto \IR^m [/mm] gibt, so daß

[mm] \lim_{\|h\| \rightarrow 0}\limits \frac{1}{\|h\|} \| f(x+h)-f(x)-A(h) \| = 0 [/mm].

Grüße,
Marc


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frechet-differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Do 03.07.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc, hallo Dizzie,

noch zwei kleine Anmerkungen:

Von Frechet-Differenzierbarkeit kann man auch in unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen sprechen. Im Grunde genommen wird der Begriff dort erst interessant, denn er erlaubt einem in beliebigen Banachräumen Analysis zu betreiben (Banachraum: vollständiger normierter Raum). Die Definition ist aber (formal) die gleiche.

Den Begriff "Frechet-stetig" kenne ich auch nicht, er ist nicht geläufig. In welchem Zusammenhang ist der Begriff denn bei dir aufgetaucht, Dizzie?

Ich könnte mir zwei Interpretationen vorstellen:

1. Möglichkeit: Man hat einen sogenannten Frechet-Raum vorliegen, also einen vollständig metrisierbaren Raum und möchte die Stetigkeit bezüglich dieser Topologie bezeichnen.

2. Möglichkeit: Es ist eine andere Bezeichnung für Lipschitz-Stetigkeit.

Ich bräuchte mehr Informationen... ;-)

Viele Grüße
Ein mathegeiler, unheimlich wirkender Stefan ;-) (ich lese alles im Internet, auch was du in anderen Foren über mich schreibst... ;-))


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frechet-differenzierbarkeit: Riemann-Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Do 03.07.2003
Autor: Marc

Hallo dizzie,

mmh, einem Integral selbst kann man es nicht ansehen, ob es ein Riemann-Integral ist. Ein Riemann-Integral zu sein ist keine Eigenschaft, sondern die Art und Weise, wie das Integral berechnet wird.

Das muß also irgendwie aus dem Kontext hervorgehen, dass ein Integral mit Riemann'scher Technik zu berechnen ist.

Unter dem Riemann-Integral versteht man nun die Berechnung des Integrals, wie man es aus dem Schulunterricht kennt, also mit Ober- und Untersummen.

Ein anderer Integral-Begriff ist übrigens das Lebesgue-Integral, ich weiß nicht, ob deine Frage im Vergleich dazu zu sehen ist. Überlicherweise wird das Lebesgue'sche Integrationstheorie in Analysis III behandelt.

Danke für deine Fragen, melde dich bitte wieder, falls etwas unklar blieb :-)

Grüße,
Marc


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frechet-differenzierbarkeit: Riemann-Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 Do 03.07.2003
Autor: dizzie

hallo marc...!
also erstmal danke für die schnelle antwort...! :-)

ich glaube, ich hab das auch einigermaßen verstanden, also frechet-differenzierbarkeit ist im prinzip die normale differenzierbarkeit, nur im mehrdimensionalen raum... das mit dem totalen differential sagt mir auch was...
wie weise ich nun die differenzierbarkeit einer funktion im mehrdimensionalen raum mathematisch korrekt nach...?

ahja, die riemann-integrale sind also nur die einfachen schul-integrale... das muss einem auch erstmal gesagt werden... ;-) ich hoffe, das ist auch so trivial, wie es sich anhört...


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frechet-differenzierbarkeit: Riemann-Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Do 03.07.2003
Autor: Stefan

Hallo Dizzie,

>also > frechet-differenzierbarkeit ist im prinzip die normale

> differenzierbarkeit, nur im mehrdimensionalen raum... das mit
> dem totalen differential sagt mir auch was...

Siehe dazu meine andere Antwort: Es sind sogar unendlichdimensionale normierte Vektorräume (meist Funktionenräume) mit erfasst.

> ahja, die riemann-integrale sind also nur die einfachen
> schul-integrale... das muss einem auch erstmal gesagt werden...
> ;-) ich hoffe, das ist auch so trivial, wie es sich anhört...

Naja, was heißt hier trivial? Aber ich kann deine Hoffnung bestätigen. Es sind die mittels Ober- und Untersumme approximierten Integrale, die man auch aus der Schule kennt.

Viele Grüße
Stefan


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