gehört Vektor zu Vektorraum? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
| Aufgabe | # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Finden Sie einen Vektor d [mm] \in [/mm] IR³ der im Falle dimU=2 nicht zu U gehört |
ich habe die Vektoren a=(1,-2,2), b=(-2,5,1) und [mm] c=(-1,0,\alpha)
[/mm]
nun habe ich für [mm] \alpha=-12 [/mm] festgestellt, das U die dim=2 hat.
Jetzt soll ich einen Vektor finden, der nicht zu U gehört, jedoch weiß ich nicht wie man da vorgeht.
MfG
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Finden Sie einen Vektor d [mm]\in[/mm] IR³ der im Falle dimU=2
> nicht zu U gehört
> ich habe die Vektoren a=(1,-2,2), b=(-2,5,1) und
> [mm]c=(-1,0,\alpha)[/mm]
>
> nun habe ich für [mm]\alpha=-12[/mm] festgestellt, das U die dim=2
> hat.
Hallo,
dann weißt Du, daß der von den drei Vektoren a,b,c aufgespannte Raum hat also für [mm] \alpha=-12 [/mm] die Basis (a,b).
> Jetzt soll ich einen Vektor finden, der nicht zu U gehört,
> jedoch weiß ich nicht wie man da vorgeht.
Du mußt nun einen Vektor finden, der nicht in dme von a und b aufgespannten Raum liegt, also einen Vektor d so, daß (a,b,d) linear unabhängig ist.
Tja, Du hast ja fstgestellt, daß für [mm] \alpha=-12 [/mm] der von (a,b,c) aufgespannte raum die Dimension 2 hat. Und sonst? für [mm] \alpha\not=-12?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
aso stimmt ;)
wenn ich nämlich am ende der zeilenstufenform eine nullzeile habe, ist das lgs vieldeutig lösbar und somit die vektoren linear abhängig in meinem fall ja bei /alpha=12
und für [mm] /alpha\not=12 [/mm] demnach linear unabhängig
also wäre ein vektor bspw. d=(-1,0,2) oder liege ich da falsch? denn dann ist ja die dim=3, aber in der aufgabenstellung ist ja dim=2 verlangt oder habe ich die aufgabe nich richtig verstanden?
vielen dank im voraus :p
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> wenn ich nämlich am ende der zeilenstufenform eine
> nullzeile habe, ist das lgs vieldeutig lösbar und somit die
> vektoren linear abhängig in meinem fall ja bei /alpha=12
Ja.
>
> und für [mm]/alpha\not=12[/mm] demnach linear unabhängig
Ja.
>
> also wäre ein vektor bspw. d=(-1,0,2) oder liege ich da
> falsch?
Du liegst richtig.
> denn dann ist ja die dim=3,
Ja.
aber in der
> aufgabenstellung ist ja dim=2 verlangt oder habe ich die
> aufgabe nich richtig verstanden?
Alles richtig verstanden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
gut, dass freut mich aber ^^
irgendwie mach ich mir das immer schwerer, naja danke jedenfalls
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Oder anders ausgedrückt, du musst die Gleichung:
[mm]r*\vektor{1 \\ -2 \\ 2}+s*\vektor{-2 \\ 5 \\ 1}+t*\vektor{-1 \\ 0 \\ a}=0[/mm] so lösen, dass es nur eine triviale Lösung, nämlich r,s,t=0 gibt, dann gilt lin. Unabhängigkeit
ich hätte für a logischerweise [mm] \not=-12
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
sorry, aber ich verstehe nicht, wie ich das berechnen soll...
das habe ich doch schon im GS berechnet und festgestellt für welche [mm] \alpha [/mm] das GS linear abhängig bzw. linear unabhängig ist.
ich suche doch einen vektor, der im falle dimU=2 nicht zu gehört oder?!?
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> sorry, aber ich verstehe nicht, wie ich das berechnen
> soll...
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> das habe ich doch schon im GS berechnet und festgestellt
> für welche [mm]\alpha[/mm] das GS linear abhängig bzw. linear
> unabhängig ist.
>
> ich suche doch einen vektor, der im falle dimU=2 nicht zu
> gehört oder?!?
Hallo,
genau das Gleichungssystem, was Adamantin vorschlägt, hast Du mit dem Gaußverfahren gelöst. (er schrieb ja auch: "oder anders ausgedrückt")
Deine Matrix ist ja gerade die Koefizientenmatrix v. Adamantins GS.
Rang 3 bedeutet, daß das GS nur die triviale Lösung hat, also die Spalten linear unabhängig sind,
und für [mm] \alpha=12 [/mm] hattest Du lineare Abhängigkeit (hier: Rang=2 ) errechnet.
Alles in Ordnung!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
okidoki
dann is alles klar soweit ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ich wusste ja nicht, dass es nur die Lösung a=-12 gibt, dachte, es wäre vielleicht noch eine Zahl, daher habe ich dieses allgemeine Vorgehen noch einmal vorgeschlagen, kann ja sein, du weißt vorher noch keine Zahl, also müsstest du es über das LSG lösen.
Gelöst wird es, indem man zwei Variablen eliminiert und ich hatte am Ende die Zeile
[mm]-12t-at=0[/mm] übrig. Daraus folgt:
[mm]t*(-12-a)=0[/mm], woraus wiederrum folgt, das entweder t=0 [mm] \vee [/mm] a=-12 sein muss. Da du aber lin. unab. willst, muss a [mm] \not=-12 [/mm] sein, damit t=0 ist. Wenn a allerdings -12 wäre, dann kann t jeden Wert annehmen und das LSG hätte eine nichttriviale Lösung [mm] \not=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Fr 12.09.2008 | | Autor: | flille |
ah ok, danke noch für den hinweis ;)
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