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gemeins. Teiler / Vielfaches: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:48 Mi 15/10/2014
Author: mmhkt

Aufgabe
Klaus und Bernd schwimmen auf 25m langen Bahnen gleichmäßig hin und her. Klaus benötigt für eine Bahn jeweils 24 Sekunden und Bernd 28 Sekunden.

a) Nach wie vielen Sekunden treffen sie sich nach dem gemeinsamen Start zum ersten Mal wieder am Beckenrand?

b) Wie viele Bahnen ist dann jeder geschwommen?

Guten Tag zusammen,
mal wieder das alte Leiden...
Ich weiß was herauskommt, aber nicht wie man das "schön" und mathematisch korrekt aufschreibt.

Mein Weg:
Kleinster gemeinsamer Teiler ist 2.
Macht für den langsameren Bernd 12 und für den schnelleren Klaus 14 Bahnen.

24 Sekunden/Bahn mal 14 ergeben genauso 336 Sekunden wie 28 Sekunden/Bahn mal 12.

Bitte beachten:
Es soll für einen Sechstklässler sein, der - wer hätte es geahnt - nicht den großen Blick für Mathe hat.
Ich fühle mit ihm und mich in die Jugend zurück versetzt...

Wie kann ich das korrekt und für ihn verständlich ausdrücken und vermitteln?

Schönen Gruß
mmhkt

        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: edit: kleiner Model.-Fehler...
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:19 Mi 15/10/2014
Author: Marcel

(... in dieser Antwort meinerseits, aber Dank der Nachfrage von mmhkt in der
korrigiere ich diesen unten in der darauffolgenden Antwort!)


Hallo,

> Klaus und Bernd schwimmen auf 25m langen Bahnen
> gleichmäßig hin und her. Klaus benötigt für eine Bahn
> jeweils 24 Sekunden und Bernd 28 Sekunden.
>  
> a) Nach wie vielen Sekunden treffen sie sich nach dem
> gemeinsamen Start zum ersten Mal wieder am Beckenrand?
>  
> b) Wie viele Bahnen ist dann jeder geschwommen?
>  Guten Tag zusammen,
>  mal wieder das alte Leiden...
>  Ich weiß was herauskommt, aber nicht wie man das "schön"
> und mathematisch korrekt aufschreibt.
>  
> Mein Weg:
>  Kleinster gemeinsamer Teiler ist 2.
>  Macht für den langsameren Bernd 12 und für den
> schnelleren Klaus 14 Bahnen.
>  
> 24 Sekunden/Bahn mal 14 ergeben genauso 336 Sekunden wie 28
> Sekunden/Bahn mal 12.

warum machst Du es nicht einfach so:
Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache von

    [mm] $24=2*2*2*3\,$ [/mm]

und

    [mm] $28=2*2*7\,.$ [/mm]

Das ist

    [mm] $2*2*2*3*7=7*24=168\,.$ [/mm]  

Deine Lösung stimmt also auch nicht.

> Bitte beachten:
>  Es soll für einen Sechstklässler sein, der - wer hätte
> es geahnt - nicht den großen Blick für Mathe hat.

Normalerweise, jedenfalls war es bei mir so, ist man nach der 5. Klasse
in der Lage, mithilfe von Primfaktorzerlegung den ggT und kgV zu berechnen.
Allerdings kenne ich die aktuellen Lehrpläne nicht.

Unabhängig davon wäre es natürlich am Besten, wenn man auch erklärt,
warum hier nichts anderes als der kgV der Zahlen [mm] $24\,$ [/mm] und [mm] $28\,$ [/mm] überhaupt
gesucht wird. Das zu plausibilisieren: Das ist eine Kunst, wenn der Schüler
sich dahingehend nicht wirklich interessiert.

Ich würde es daher erst mal "algorithmisch" andeuten, wie man *mit einem
Probierverfahren* jedenfalls erstmal zu einer Lösung kommt:
Ich schreibe Dir das Ganze jetzt nur exemplarisch auf, da Du nicht mein
Nachhilfeschüler bist ( ;-) ) und ich Dir zutraue, dass Du das schon in Worten
verpackt bekommst:
Zeiten nach der

    1. Runde: $24|28$ --> Differenz ist [mm] $4\,$ [/mm]
(Interpretation: Weil der schnellere Schwimmer schon nach 24 Sekunden die
erste Runde zurückgelegt hat, hat er 4 Sekunden Vorsprung aus Sicht des
langsameren Schwimmers, wenn der die erste Runde vollendet hat. Der
"4 Sekunden Vorsprung" ist also bzgl. der Geschwindigkeit des langsameren
Schwimmers gemeint.)

    2. Runde: $48|56$ --> Differenz ist [mm] $8\,$ [/mm]

    3. Runde: $72|84$ --> Differenz ist [mm] $12\,$ [/mm]

    4. Runde: $96|112$ --> Differenz ist [mm] $16\,$ [/mm]

    5. Runde: $120|140$ --> Differenz ist [mm] $20\,$ [/mm]

    6. Runde: $144|168$ --> Differenz ist [mm] $24\,$ [/mm]
  
Das liefert auch eine andere Motivation: Man kann ja die gesuchte Rundenzahl
durchaus mit der dabeistehenden Differenz in Verbindung setzen. Nach
der 6. Runde sieht der langsamere Schwimmer nämlich, dass er, um den
gleichen Weg, den der schnellere Schwimmer aktuell zurückgelegt hat, noch
einzuholen, noch 24 Sekunden länger schwimmen muss. Das ist für ihn
genau eine Runde, also muss der schnellere Schwimmer momentan direkt
neben ihm sein.

Es gibt auch noch eine weitere Möglichkeit:
Nach der ersten Runde ist der schnellere Schwimmer

    [mm] $28/24*s\,$ [/mm]

geschwommen, wenn [mm] $s\,$ [/mm] die Strecke einer Runde ist. Er hat also den Vorspung von

    [mm] $\bullet$ $1/6\,s$ [/mm] Strecken nach der ersten Runde

    [mm] $\bullet$ $2/6\,s$ [/mm] Strecken nach der zweiten Runde

    [mm] $\bullet$ $3/6\,s$ [/mm] Strecken nach der dritten Runde

usw. usf.

Ich denke eigentlich, dass das die *anschaulich* nachvollziehbarste Lösung
für einen 6. Klässler ist.

Nebenbei: Mathematisch kann man dann natürlich noch eine kleine Keule
rausholen, und sagen:
Folglich suchen wir die kleinste Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit

    $n*1/6 [mm] \in \IN\,.$ [/mm] ;-)

Muss aber auch nicht sein. [grins]

>  Ich fühle mit ihm und mich in die Jugend zurück
> versetzt...
>  
> Wie kann ich das korrekt und für ihn verständlich
> ausdrücken und vermitteln?

S.o., ich hoffe, die Ideen sind nachvollziehbar?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:23 Mi 15/10/2014
Author: Marcel

Hallo nochmal,

übrigens, wie ich gerade gesehen habe: Hier ist ja sogar konkret [mm] $s=25\,$m [/mm] gegeben.
Allerdings sieht man auch, dass das absolut irrelevant war...

Achso, und vielleicht noch ein didaktischer Tipp: Bastle das Ziffernblatt einer
Uhr nach (die einfachste Anschauung ist, dass die in einem kreisrunden
Becken schwimmen). Der kleine Zeiger ist der langsame Schwimmer, der
große der schnellere. Damit kann man wunderbar demonstrieren, wie hier
die Zusammenhänge sind:
Wenn beide Zeiger auf 12 Uhr stehen, dann startet der Umlauf der beiden,
der große läuft vor, und wenn der kleine zum ersten mal wieder auf die 12
Uhr kommt, hat der große Zeiger einen Vorsrpung, den man an einem Winkel
von [mm] $60^\text{o}$ [/mm] zu dem kleinen Zeiger erkennt. Nach der ersten Runde
steht der kleine also auf 12 Uhr, der große "schon" auf 2 Uhr, nach der zweiten
steht der kleine wieder auf 12, der große auf 4 Uhr usw.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:38 Mi 15/10/2014
Author: mmhkt

Hallo Marcel,
deine Lösung hat m.E. einen kleinen, aber entscheidenden Haken:

Nach 168 Sekunden hat der eine sechs Bahnen und der andere sieben Bahnen geschafft.
Das bedeutet, dass sie sich nicht am Beckenrand treffen, sondern dass sich der eine am linken und der andere sich am rechten Beckenrand befindet.
Im Stadtbad zu T. wäre der eine also am "Alleenende" und der andere auf der Parkplatzseite... ;-)

In der Aufgabenstellung ist aber genau das gefordert:
Wann treffen sie sich zum ersten Mal wieder am Beckenrand?

Und das kann für jeden nur nach einer Bahnenzahl sein, die ohne Rest durch 2 teilbar ist.

Schönen Gruß
mmhkt

Bezug
                        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Stimmt -> Modellmodifikationen
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:50 Mi 15/10/2014
Author: Marcel

Hallo mmhkt,

> Hallo Marcel,
>  deine Lösung hat m.E. einen kleinen, aber entscheidenden
> Haken:
>  
> Nach 168 Sekunden hat der eine sechs Bahnen und der andere
> sieben Bahnen geschafft.
>  Das bedeutet, dass sie sich nicht am Beckenrand treffen,
> sondern dass sich der eine am linken und der andere sich am
> rechten Beckenrand befindet.
>  Im Stadtbad zu T. wäre der eine also am "Alleenende" und
> der andere auf der Parkplatzseite... ;-)
>  
> In der Aufgabenstellung ist aber genau das gefordert:
> Wann treffen sie sich zum ersten Mal wieder am Beckenrand?
>  
> Und das kann für jeden nur nach einer Bahnenzahl sein, die
> ohne Rest durch 2 teilbar ist.

das stimmt natürlich, das habe ich nicht bedacht. Meine Lösung passt
nur für das Modell eines Kreisrunden Beckens, und da es hier aber wohl
darum geht, 25 Meter nach oben und 25 wieder nach unten zu schwimmen,
muss man das Modell dahingehend verifizieren.
Entweder macht man es dann mit Deiner Argumentation, dass man sagt:
"Okay, nach 168 Sekunden treffen sie sich zum ersten Mal an der anderen
Beckenrandseite, also sind sie nach 336 Sekunden zum ersten Mal wieder
am Ausgangspunkt!"

oder man nimmt das von mir genannte Modell und passt die Zahlen an:
Dann ist 1 Runde=2 Mal 25 Meter=50 Meter, entsprechend müßte man,
anstatt den

    [mm] $\kgV(24,28)$ [/mm]

zu berechnen, dann halt

    [mm] $\kgV(48,56)$ [/mm]

berechnen.

Und die anderen Überlegungen mit

    1. Runde: $24|28$ --> Differenz ist [mm] $4\,$ [/mm]

kannst Du aber genauso modifizieren:

    1. Runde: $48|56$ --> Differenz ist [mm] $8\,$ [/mm]

etc. pp. .


Oder Du nimmst mein Modell, läßt es, wie es ist, erklärst aber, dass ich
dort eine "Halbrunde" anstatt einer Runde modelliert habe, was die
abschließende Multiplikation mit 2 erklärt.

Ich kann das jetzt auch nochmal nachkorrigieren, denn das hatte ich
in der Aufgabe missverstanden bzw. einfach ohne Bedacht gelesen.
Ich denke aber, dass das nicht nötig ist. Es ging Dir doch auch vor allem
darum, dass man dem Nachhilfeschüler plausibel macht, wie er eigentlich
vorgehen kann, um die Aufgabe zu lösen, oder?

Ich denke, da kannst Du schon was aus meiner Antwort rauslesen, oder
nicht? Auch, wenn ich da eigentlich "eine Halbrunde als Vollrunde" modelliert
habe, was natürlich darauf zurückzuführen ist, dass ich einfach zu wenig
über die Aufgabe nachgedacht habe. (Zum Glück hast Du aber gut aufgepasst. ;-) )

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:46 Mi 15/10/2014
Author: angela.h.b.


> Klaus und Bernd schwimmen auf 25m langen Bahnen
> gleichmäßig hin und her. Klaus benötigt für eine Bahn
> jeweils 24 Sekunden und Bernd 28 Sekunden.

>

> a) Nach wie vielen Sekunden treffen sie sich nach dem
> gemeinsamen Start zum ersten Mal wieder am Beckenrand?

>

> b) Wie viele Bahnen ist dann jeder geschwommen?

>

> Bitte beachten:
> Es soll für einen Sechstklässler sein, der - wer hätte
> es geahnt - nicht den großen Blick für Mathe hat.

Hallo,

ich würde bei einem schwächeren Schüler dieses kgV-Zeugs außen vor lassen und lieber eine Lösung entwickeln, auf die er auch kommen kann, wenn er im Wald steht und alle Belehrungen vergessen hat.

Zunächst einmal ist die Erkenntnis wichtig, daß sie sich nur treffen, wenn sie beide gleichzeitig an Rand A oder beide gleichzeitig an Rand B sind.
(Ich glaube, daß in der Aufgabe nur nach dem Rand, an dem gestartet wird, gefragt ist.)

Ich würde eine Tabelle anlegen lassen, in welcher notiert wird, nach wieviel Sekunden die beiden Schwimmer jeweils Rand A erreichen.
Und dann guckt man, nach wievielen Sekunden sie beide dort sind:

Rand A:

[mm]\begin{tabular}[ht]{cc}\hline Klaus & Bernd\\\hline \hline 48 & 56\\96 & 112\\144 & 168\\192& 224\\240 & 280\\288 & \red{336}\\\red{336}& \\ &\\& \\ & \\ \hline \end{tabular}[/mm]


Rand B:

[mm]\begin{tabular}[ht]{cc}\hline Klaus & Bernd\\\hline \hline 24&28\\ 48+24=72 & 84\\120 & 140\\\vdots&\vdots\\ \hline \end{tabular}[/mm]

LG Angela

Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:00 Mi 15/10/2014
Author: Marcel

Hallo Angela,

> > Klaus und Bernd schwimmen auf 25m langen Bahnen
>  > gleichmäßig hin und her. Klaus benötigt für eine

> Bahn
>  > jeweils 24 Sekunden und Bernd 28 Sekunden.

>  >
>  > a) Nach wie vielen Sekunden treffen sie sich nach dem

>  > gemeinsamen Start zum ersten Mal wieder am Beckenrand?

>  >
>  > b) Wie viele Bahnen ist dann jeder geschwommen?

>  >
>  > Bitte beachten:

>  > Es soll für einen Sechstklässler sein, der - wer

> hätte
>  > es geahnt - nicht den großen Blick für Mathe hat.

>  
> Hallo,
>  
> ich würde bei einem schwächeren Schüler dieses kgV-Zeugs
> außen vor lassen und lieber eine Lösung entwickeln, auf
> die er auch kommen kann, wenn er im Wald steht und alle
> Belehrungen vergessen hat.
>  
> Zunächst einmal ist die Erkenntnis wichtig, daß sie sich
> nur treffen, wenn sie beide gleichzeitig an Rand A oder
> beide gleichzeitig an Rand B sind.
>  (Ich glaube, daß in der Aufgabe nur nach dem Rand, an dem
> gestartet wird, gefragt ist.)
>  
> Ich würde eine Tabelle anlegen lassen, in welcher notiert
> wird, nach wieviel Sekunden die beiden Schwimmer jeweils
> Rand A erreichen.
>  Und dann guckt man, nach wievielen Sekunden sie beide dort
> sind:
>  
> Rand A:
>  
> [mm]\begin{tabular}[ht]{cc}\hline Klaus & Bernd\\\hline \hline 48 & 56\\96 & 112\\144 & 168\\192& 224\\240 & 280\\288 & \red{336}\\\red{336}& \\ &\\& \\ & \\ \hline \end{tabular}[/mm]
>  
>
> Rand B:
>  
> [mm]\begin{tabular}[ht]{cc}\hline Klaus & Bernd\\\hline \hline 24&28\\ 48+24=72 & 84\\120 & 140\\\vdots&\vdots\\ \hline \end{tabular}[/mm]

sowas habe ich in meiner ersten Antwort (aber, wenn man so will, mit dem
*falschen* Beckenrand) ja auch stehen. Allerdings finde ich Deine Darstellung
viel schöner. (Auch die Kennzeichnung der roten Zahlen ist nur eine Kleinigkeit,
die aber sicher eine große Wirkung erzielen wird.)

Wenn jetzt noch jemand meine "Zeigervariante" hier als gif zusammen-
basteln würde ... :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:06 Do 16/10/2014
Author: mmhkt

Guten Morgen,

vielen Dank für die anschauliche Erklärung.

Schönen Gruß
mmhkt

Bezug
        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:42 Mi 15/10/2014
Author: Marcel

Hallo nochmal,

von meiner Seite nur nochmal kurz der Hinweis: Ich bastle gerade ein
Octave/Matlab Progrämmchen, dass das von mir gesagte simulieren soll.

Ich melde mich, wenn es fertig ist bzw. vielleicht poste ich einfach nur mal
das Ergebnis des Plots als Gif.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:03 Do 16/10/2014
Author: mmhkt

Guten Morgen,
vielen Dank für deinen Einsatz.

Ich bin gespannt auf das Ergebnis.

Schönen Gruß
mmhkt

Bezug
        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Bilder...
Status: (Answer) finished Status 
Date: 02:16 Fr 17/10/2014
Author: Marcel

Hallo,

> Klaus und Bernd schwimmen auf 25m langen Bahnen
> gleichmäßig hin und her. Klaus benötigt für eine Bahn
> jeweils 24 Sekunden und Bernd 28 Sekunden.
>  
> a) Nach wie vielen Sekunden treffen sie sich nach dem
> gemeinsamen Start zum ersten Mal wieder am Beckenrand?
>  
> b) Wie viele Bahnen ist dann jeder geschwommen?
>  Guten Tag zusammen,
>  mal wieder das alte Leiden...
>  Ich weiß was herauskommt, aber nicht wie man das "schön"
> und mathematisch korrekt aufschreibt.
>  
> Mein Weg:
>  Kleinster gemeinsamer Teiler ist 2.
>  Macht für den langsameren Bernd 12 und für den
> schnelleren Klaus 14 Bahnen.
>  
> 24 Sekunden/Bahn mal 14 ergeben genauso 336 Sekunden wie 28
> Sekunden/Bahn mal 12.

ich habe jetzt noch die "Uhrzeigerversion" fertiggestellt, eigentlich wollte
ich daraus ein Video machen, aber Moviemaker spinnt da irgendwie. So
habe ich beschlossen, aus den über 2000 png-Dateien dann doch nur die
6 wichtigen herauszunehmen:

Start:
    
    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 1

Nach 1. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 2

Nach 2. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 3

Nach 3. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 4

Nach 4. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 5

Nach 5. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 6

Nach 6. Runde:

    [Dateianhang nicht öffentlich]
    [a]Bild 7

Zugegeben: Das letzte Bild ist eigentlich 1/360 zu früh - das liegt daran, dass
der Matlab Code an der Stelle, wo das Bild erstellt wird, wohl schon vorher
abbricht, aber ich denke, damit kann man leben (bzw. wer will, der kann
das auch selbst anpassen).

Wenn jemand am Matlab-Code interessiert ist: Einfach Bescheid geben!

Gruß,
  Marcel

attachments:
Attachment # 1 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 2 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 3 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 4 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 5 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 6 (Type: png) [nicht öffentlich]
Attachment # 7 (Type: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:17 Fr 17/10/2014
Author: mmhkt

Hallo Marcel,
wow - welch ein Einsatz für den matheschwächelnden Nachwuchs!

...und zu welcher Zeit hier hochgeladen.
Die Älteren hier erinnern sich vielleicht: "Die Nacht ist nicht allein zum schlafen da"...

Mit diesen Bildern lässt sich das Ganze sehr anschaulich erklären.

Besten Dank! [anbet]
mmhkt


Bezug
                        
Bezug
gemeins. Teiler / Vielfaches: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:24 Fr 17/10/2014
Author: Marcel

Hi,

> Hallo Marcel,
>  wow - welch ein Einsatz für den matheschwächelnden
> Nachwuchs!
>
> ...und zu welcher Zeit hier hochgeladen.
>  Die Älteren hier erinnern sich vielleicht: "Die Nacht ist
> nicht allein zum schlafen da"...
>  
> Mit diesen Bildern lässt sich das Ganze sehr anschaulich
> erklären.
>  
> Besten Dank! [anbet]
> mmhkt

gerne. Ich kann Dir auch alle schicken (2160 à 17 kb oder so), oder einfach
das Matlab-Programm.

Ich fand's interessant, das mal runterzuprgrammieren - eigentlich kann man
mit den Bildern ein schönes Video machen. Nur will mein Laptop das irgendwie
nicht zulassen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
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