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gemeinsame Dichte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Di 17.10.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei X~U([-1,1]) und Y=|X|,

(i) Bestimme die Verteilungsfunktion von Y.

(ii) Sind X und Y unkorreliert?

ich habe eine Frage zu (ii):

um unkorreliert zu zeigen muss ich zeigen, dass [mm] E(X\cdot Y)=E(X)\cdot [/mm] E(Y), dies würde schon folgen wenn wir unabhängigkeit gegeben hätte. Aber da es nicht der Fall ist muss man es ausrechnen.

aber um [mm] E(X\cdot [/mm] Y) berechnen zu können bräuchte ich die gemeinsame Dichte von X und Y. Wie bestimme ich das?

        
Bezug
gemeinsame Dichte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Mi 18.10.2017
Autor: luis52


>  
> aber um [mm]E(X\cdot[/mm] Y) berechnen zu können bräuchte ich die
> gemeinsame Dichte von X und Y.  

Moin, nicht unbedingt. Bestimme die Verteilung von  [mm] $Z=X\cdot|X|$ [/mm] ...


Bezug
                
Bezug
gemeinsame Dichte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Do 19.10.2017
Autor: mimo1

nochmlas vielen Dank.
[mm] P(X\cdot |X|\le z)=P(-z\le X^2\le z)=P(\wurzel{-z}\le X\le \wurzel{z})=F_X(\wurzel{z})-F_X(\wurzel{-z})=\bruch{\wurzel{z}+1}{2}-(\bruch{\wurzel{-z}+1}{2})=\bruch{\wurzel{z}-\wurzel{-z}}{2} [/mm]

stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
gemeinsame Dichte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Do 19.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> nochmlas vielen Dank.
> [mm]P(X\cdot |X|\le z)=P(-z\le X^2\le z)=P(\wurzel{-z}\le X\le \wurzel{z})=F_X(\wurzel{z})-F_X(\wurzel{-z})=\bruch{\wurzel{z}+1}{2}-(\bruch{\wurzel{-z}+1}{2})=\bruch{\wurzel{z}-\wurzel{-z}}{2}[/mm]

>

> stimmt das?

Nein. Spätestens nach der zweiten Gleichheit hättest du deinen Denkfehler erkennen müssen, denn da steht für [mm] z\ne{0} [/mm] etwas nicht definiertes.

Zeichne dir doch mal den Graphen der Funktion

[mm] f(x)=x*\left|x\right| [/mm]

auf und vergleiche mit dem Graphen der Normalparabel

[mm] g(x)=x^2. [/mm]

Jetzt sollte klar sein, dass bereits die erste Gleichheit oben falsch ist.

Als Tipp möchte ich dir mitgeben, dass meine obige Funktion f(x) offensichtlich streng monoton steigend ist. Das ist für die Auflösung der Ungleichung

[mm] x*|x|\le{z} [/mm]

nach x von entscheidender Bedeutung!


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
gemeinsame Dichte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Do 19.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mal ein anderer Vorschlag, der näher an deine Idee herankommt (weil man die Verteilung nicht braucht):

> aber um [mm]E(X\cdot[/mm] Y) berechnen zu können bräuchte ich die
> gemeinsame Dichte von X und Y.

Nein, denn offensichtlich gilt: $E[XY] = E[X*|X|]$ und das kannst du einfach mit Hilfe der Dichte von X ausrechnen, die du kennst.

edit: Und du brauchst nicht mal die Dichte… offensichtlich ist $X*|X|$ symmetrisch um 0, d.h. der EW ist?

Gruß,
Gono

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