generelle frage zu konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe S=
[mm] \summe_{k=21}^{\infty}a_{k} [/mm] für
c) [mm] =\bruch{1}{(ln k)^k}
[/mm]
d) [mm] =\bruch{(k!)^2}{2k!}
[/mm]
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Hallo,
ich habe hierzu leider keine rechenwege und bin mir an manchen ecken irgenwie garnicht sicher, ob mein verständnis von reihen und folgen etc überhaupt richtig ist:
Also generell: Sehe ich es richtig,dass:
1. jeder reihe die konvergiert eine nullfolge zugrunde liegt.
2. es andersherum genauso ist
3. nur weil eine FOLGE konvergiert gegen einen von 0 (null) verschiedenen grenzwert, heißt das nicht, dass die reihe konvergiert
--> ich manch das meistens irgenwie richtig, aber ich werde das gefühl nicht los, dass ich da was grundlegend falsch verstehe: ich untersuche die konvergenz von reihen, aber aus 1. folgt doch: was ich da eigentlich mache, ist, ich versuche herauszufinden, ob [mm] a_k [/mm] eine nullFOLGE ist, oder?
das wird bei mir immer schwammig, wenn ich mal z.b. das quotientenkriterium anwende und dann eben nicht direkt bis auf einen zahlenwert komme (der größer/kleiner 1 ist), aber durch meine bisherigen umformungen locker sagen könnte, dass der gerade entstandene term gegen null geht oder eben nicht....aber das ist ja der term, der durch das teilen "verfälscht" ist....
also muss ich beim quotienten- und beim wurzelkriterium wirklich bis zu einem zahlenwert kommen, oder kann ich auch, wenn schon offensichtlich ist, dass der grenzwert existiert, und aufjeden fall größer oder kleiner 1 ist, das als ausreichend nehmen? beispiel aufg d)
verwendung des quotientenkriteriums:
[mm] \bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}*\bruch{(2k)!}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}=\bruch{(k+1)^2}{2(2k+1)}=...=1/2*((k+1)/(2k+1))...?
[/mm]
...tja, ich seh ja schon, dass nenner auf jeden fall immer größer sein wird als zähler und über die FOLGE könnte ich also locker sagen, es ist eine nullfolge. und im heft steht "existiert grenzwert q für diesen quotiententerm, und ist er </>1 dann ist die REIHE absolut konv/div..." aber heißt das jetzt
1.ich muss theoretisch nicht weiterrechnen (wir müssen nur aussagen ob oder ob nicht konvergent, keinen grenzwert nennen!) weil ich sehe, dass die folge in diesem stadium eine nullfolge ist (aber ich hab sie doch durch teilen verändert!!??)
2. mach ich so weiter, dass ich sage =...1/2* (1/2)= 1/4 <--- ist das jetzt noch mein "q" grenzwert für den Quotienten oder ist das schon nicht mehr einwandfrei, weil ich das eine 1/2 nicht durch bloßes umformen/kürzen errechnet habe....?
bei c) frage ich mich, wie ich nach dem anwenden des Wurzelkriteriums mit 1/(ln k) verfahren soll...geht nich weiter, aber ich seh ja, dass es gegen null geht....
sry, ich weiss es ist verwirrt,
aber ich denke da glaub viel zu kompliziert: ist es im endeffekt so , als prüfe ich, ob es eine nullFOLGE ist? und wenn nein, warum nicht?
grüße angela
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Hallo Angela,
> Untersuchen Sie die Reihe S=
> [mm]\summe_{k=21}^{infty} a_{k}[/mm] für
>
> [mm]c)=\bruch{1}{(ln k)^k}[/mm]
> d)= [mm]\bruch{(k!)^2}{2k!}[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe hierzu leider keine rechenwege und bin mir an
> manchen ecken irgenwie garnicht sicher, ob mein
> verständnis von reihen und folgen etc überhaupt richtig
> ist:
> Also generell: Sehe ich es richtig,dass:
> 1. jeder reihe die konvergiert eine nullfolge zugrunde
> liegt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist, ist NOTWENDIGE Bedingung für die Konvergenz der Reihe, aber nicht hinreichend!
> 2. es andersherum genauso ist ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
siehe 1)
Es ist [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge, aber die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] ist divergent (harmonische Reihe)
Es gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge [mm] $(\star)$
[/mm]
Die Umkehrung gilt nicht, wie das obige Bsp. mit der harmonischen Reihe zeigt
Aber [mm] $(\star)$ [/mm] ist mit Kontraposition äquivalent zu:
[mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist keine Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] ist nicht konvergent, also divergent
> 3. nur weil eine FOLGE konvergiert gegen einen von 0
> (null) verschiedenen grenzwert, heißt das nicht, dass die
> reihe konvergiert
Nein, siehe oben, wenn die Folge der [mm] $a_k$ [/mm] nicht gegen 0 konvergiert, ist die Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] automatisch divergent
> --> ich manch das meistens irgenwie richtig, aber ich
> werde das gefühl nicht los, dass ich da was grundlegend
> falsch verstehe: ich untersuche die konvergenz von reihen,
> aber aus 1. folgt doch: was ich da eigentlich mache, ist,
> ich versuche herauszufinden, ob [mm]a_k[/mm] eine nullFOLGE ist,
> oder?
Das musst du nicht immer machen, aber es gibt dir im Falle, dass bei dieser Untersuchung herauskommt, dass die [mm] $a_k$ [/mm] keine Nullfolge bilden sofort die Gewissheit, dass die zugeh. Reihe divergent ist
Wenn bei dieser Untersuchung allerdings herauskommt, dass die [mm] $a_k$ [/mm] eine Nullfolge bilden, so ist über die Konvergenz oder Divergenz der zugeh. Reihe noch nix klar (siehe Bsp. harmonische Reihe)
> das wird bei mir immer schwammig, wenn ich mal z.b. das
> quotientenkriterium anwende und dann eben nicht direkt bis
> auf einen zahlenwert komme (der größer/kleiner 1 ist),
> aber durch meine bisherigen umformungen locker sagen
> könnte, dass der gerade entstandene term gegen null geht
> oder eben nicht....aber das ist ja der term, der durch das
> teilen "verfälscht" ist....
Das ist arg konfus, der Grenzwert (oder Limes superior) , den du beim QK oder WK berechnest, ist doch ein eindeutiger Zahlenwert!
> also muss ich beim quotienten- und beim wurzelkriterium
> wirklich bis zu einem zahlenwert kommen, oder kann ich
> auch, wenn schon offensichtlich ist, dass der grenzwert
> existiert, und aufjeden fall größer oder kleiner 1 ist,
> das als ausreichend nehmen?
Ja! Bei Grenzwert $q$ mit $q<1$ hast du (absolute) Konvergenz der Reihe, bei GW $q$ mit $q>1$ Divergenz der Reihe
Ist der GW beim QK/WK aber $q=1$, so helfen diese Kriterien nicht weiter, sie machen keine Aussage bzgl. Konvergenz/Divergenz in diesem Falle.
Dann musst du dir anders behelfen ...
> beispiel aufg d)
> verwendung des quotientenkriteriums:
> [mm]\bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}*\bruch{(2k)!}{k!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}=\bruch{(k+1)^2}{2(2k+1)}=...=1/2*((k+1)/(2k+1))...?[/mm]
Nana, was steht denn genau in der Aufgabe, lautet die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=21}^{\infty}\frac{(k!)^2}{2k!}$ [/mm] wie es ganz oben steht oder [mm] $\sum\limits_{k=21}^{\infty}\frac{(k!)^2}{\red{(}2k\red{)}!}$, [/mm] was du bei deiner Rechnung zugrunde legst ?
Es scheint letzteres der Fall zu sein, du hast richtig gerechnet bis hierhin:
[mm] $\bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}$
[/mm]
Dann hast du aber im Nenner Unfug gebaut.
Multipliziere hier aus:
[mm] $=\frac{k^2+2k+1}{4k^2+5k+2}$
[/mm]
Nun in Zähler und Nenner [mm] $k^2$ [/mm] ausklammern und den Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] machen, schließlich ist gem. QK der [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ [/mm] zu berechnen.
Du siehst schnell, dass dabei [mm] $q=\frac{1}{4}$ [/mm] herauskommt, was $<1$ ist, also ist die Reihe in (d) nach dem QK absolut konvergent
> ...tja, ich seh ja schon, dass nenner auf jeden fall immer
> größer sein wird als zähler und über die FOLGE könnte
> ich also locker sagen, es ist eine nullfolge. und im heft
> steht "existiert grenzwert q für diesen quotiententerm,
> und ist er </>1 dann ist die REIHE absolut konv/div..."
> aber heißt das jetzt
> 1.ich muss theoretisch nicht weiterrechnen (wir müssen
> nur aussagen ob oder ob nicht konvergent, keinen grenzwert
> nennen!) weil ich sehe, dass die folge in diesem stadium
> eine nullfolge ist (aber ich hab sie doch durch teilen
> verändert!!??)
> 2. mach ich so weiter, dass ich sage =...1/2* (1/2)= 1/4
> <--- ist das jetzt noch mein "q" grenzwert für den
> Quotienten oder ist das schon nicht mehr einwandfrei, weil
> ich das eine 1/2 nicht durch bloßes umformen/kürzen
> errechnet habe....?
> bei c) frage ich mich, wie ich nach dem anwenden des
> Wurzelkriteriums mit 1/(ln k) verfahren soll...geht nich
> weiter, aber ich seh ja, dass es gegen null geht....
Damit hast du's doch, du musst ja den [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$ [/mm] berechnen, das ist [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\ln(k)}=0=q<1$
[/mm]
Damit hast du absolute Konvergenz deiner Reihe in (c) gem. WK
> sry, ich weiss es ist verwirrt,
> aber ich denke da glaub viel zu kompliziert: ist es im
> endeffekt so , als prüfe ich, ob es eine nullFOLGE ist?
> und wenn nein, warum nicht?
S.o., ich hoffe, die Erklärungen bringen dich etwas weiter 
> grüße angela
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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> Hallo Angela,
>
> > Untersuchen Sie die Reihe S=
> > [mm]\summe_{k=21}^{infty} a_{k}[/mm] für
> >
> > [mm]c)=\bruch{1}{(ln k)^k}[/mm]
> > d)= [mm]\bruch{(k!)^2}{2k!}[/mm]
> >
> > Hallo,
> > ich habe hierzu leider keine rechenwege und bin mir an
> > manchen ecken irgenwie garnicht sicher, ob mein
> > verständnis von reihen und folgen etc überhaupt richtig
> > ist:
> > Also generell: Sehe ich es richtig,dass:
> > 1. jeder reihe die konvergiert eine nullfolge zugrunde
> > liegt.
>
> Ja, dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist,
> ist NOTWENDIGE Bedingung für die Konvergenz der Reihe,
> aber nicht hinreichend!
>
> > 2. es andersherum genauso ist
>
> siehe 1)
>
> Es ist [mm]\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\IN}[/mm] eine Nullfolge,
> aber die Reihe [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}[/mm] ist
> divergent (harmonische Reihe)
> wieso vergesse ich das immer?!
>
> Es gilt:
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}[/mm]
> ist Nullfolge [mm](\star)[/mm]
>
> Die Umkehrung gilt nicht, wie das obige Bsp. mit der
> harmonischen Reihe zeigt
>
> Aber [mm](\star)[/mm] ist mit Kontraposition äquivalent zu:
>
> [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] ist keine Nullfolge [mm]\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k[/mm]
> ist nicht konvergent, also divergent
>
> > 3. nur weil eine FOLGE konvergiert gegen einen von 0
> > (null) verschiedenen grenzwert, heißt das nicht, dass die
> > reihe konvergiert
>
> Nein, siehe oben, wenn die Folge der [mm]a_k[/mm] nicht gegen 0
> konvergiert, ist die Reihe [mm]\sum a_k[/mm] automatisch divergent
> oje, meine ausdrucksweise, so meinte ich das...
> > --> ich manch das meistens irgenwie richtig, aber ich
> > werde das gefühl nicht los, dass ich da was grundlegend
> > falsch verstehe: ich untersuche die konvergenz von reihen,
> > aber aus 1. folgt doch: was ich da eigentlich mache, ist,
> > ich versuche herauszufinden, ob [mm]a_k[/mm] eine nullFOLGE ist,
> > oder?
>
> Das musst du nicht immer machen, aber es gibt dir im Falle,
> dass bei dieser Untersuchung herauskommt, dass die [mm]a_k[/mm]
> keine Nullfolge bilden sofort die Gewissheit, dass die
> zugeh. Reihe divergent ist
> aha, d.h. ich schaue erst, ob die FOLGE eine nullfolge ist....wenn sie's ist, dann muss ich noch nicht einmal entfernt an die ganzen kriterien o.ä. denken? also erst die folge dann die reihe
> Wenn bei dieser Untersuchung allerdings herauskommt, dass
> die [mm]a_k[/mm] eine Nullfolge bilden, so ist über die Konvergenz
> oder Divergenz der zugeh. Reihe noch nix klar (siehe Bsp.
> harmonische Reihe)
> klingt gut, also kann es sein, dass ich bei der frage nach konvergenz einer reihe im grunde die reihe "an sich" erst wieder im "antwortsatz" verwende und sonst mich nur um die (hoffentliche) nullfolge kümmere
> > das wird bei mir immer schwammig, wenn ich mal z.b. das
> > quotientenkriterium anwende und dann eben nicht direkt bis
> > auf einen zahlenwert komme (der größer/kleiner 1 ist),
> > aber durch meine bisherigen umformungen locker sagen
> > könnte, dass der gerade entstandene term gegen null geht
> > oder eben nicht....aber das ist ja der term, der durch das
> > teilen "verfälscht" ist....
>
> Das ist arg konfus, der Grenzwert (oder Limes superior) ,
> den du beim QK oder WK berechnest, ist doch ein eindeutiger
> Zahlenwert!
> ja, das mein ich ja: der zahlenwert der da entsteht, der ensteht genauso evtl auch durch hingucken...dachte immer, wenn nicht durch bloßes anwenden des (richtigen) kriteriums und reinem kürzen etc ein zahlenwert rauskommt, dann "existiert q nicht" und es ist keine aussage möglcih und ich habe das falsche kriterium erwischt....aber wenn das genau so ist, wie grenzwert bestimmen bei normalen funktionen....also mit "sehen" auch möglich
> > also muss ich beim quotienten- und beim wurzelkriterium
> > wirklich bis zu einem zahlenwert kommen, oder kann ich
> > auch, wenn schon offensichtlich ist, dass der grenzwert
> > existiert, und aufjeden fall größer oder kleiner 1 ist,
> > das als ausreichend nehmen?
>
> Ja! was, ja? aber ich glaube ich hab's mittlerweile: den grenzwert den ich mit QK oder WK berechne ist zwar zahlenmäßig nicht der der reihe, aber sobald ich unterwegs mit diesem kriterium irgendwie die chance habe, einen grenzwert zu sehen: zuschlagen und der einzige unteschied zur grenzwertfindung bei funktionen alleine ist, dass mich noch zu interessieren hat, ob <>1 wg. der zusätzlcihen aussage der konvergenz, die ich ja treffen soll Bei Grenzwert [mm]q[/mm] mit [mm]q<1[/mm] hast du (absolute) Konvergenz
> der Reihe, bei GW [mm]q[/mm] mit [mm]q>1[/mm] Divergenz der Reihe
>
> Ist der GW beim QK/WK aber [mm]q=1[/mm], so helfen diese Kriterien
> nicht weiter, sie machen keine Aussage bzgl.
> Konvergenz/Divergenz in diesem Falle.
>
> Dann musst du dir anders behelfen ...
>
>
> > beispiel aufg d)
> > verwendung des quotientenkriteriums:
> > [mm]\bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}*\bruch{(2k)!}{k!}[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}=\bruch{(k+1)^2}{2(2k+1)}=...=1/2*((k+1)/(2k+1))...?[/mm]
>
> Nana, was steht denn genau in der Aufgabe, lautet die Reihe
> [mm]\sum\limits_{k=21}^{\infty}\frac{(k!)^2}{2k!}[/mm] wie es ganz
> oben steht oder
> [mm]\sum\limits_{k=21}^{\infty}\frac{(k!)^2}{\red{(}2k\red{)}!}[/mm],
> was du bei deiner Rechnung zugrunde legst ?
>
> Es scheint letzteres der Fall zu sein, du hast richtig
> gerechnet bis hierhin:
>
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}[/mm]
>
> Dann hast du aber im Nenner Unfug gebaut.
> ja, das hat man von copy+paste ich komme auch auf 1/4 aber (mit natürlich jetzt berichtigtem wert)
ich meinte natürlich
[mm] \bruch{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}[/
[/mm]
[mm] =\bruch{(k+1)}{2(2k+1)}
[/mm]
dann bin ich so weiter:
[mm] 0.5*\bruch{(k+1)}{(2k+1)}
[/mm]
-->0.5*lim [mm] (\bruch{(k+1)}{(2k+1)})= [/mm] 0.5*0.5=0.25
> Multipliziere hier aus:
>
> [mm]=\frac{k^2+2k+1}{4k^2+5k+2}[/mm]
>
> Nun in Zähler und Nenner [mm]k^2[/mm] ausklammern und den
> Grenzübergang [mm]k\to\infty[/mm] machen, schließlich ist gem. QK
> der
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|[/mm] zu
> berechnen.
> passt doch so auch, oder?
> Du siehst schnell, dass dabei [mm]q=\frac{1}{4}[/mm] herauskommt,
> was [mm]<1[/mm] ist, also ist die Reihe in (d) nach dem QK absolut
> konvergent
>
>
> > ...tja, ich seh ja schon, dass nenner auf jeden fall immer
> > größer sein wird als zähler und über die FOLGE könnte
> > ich also locker sagen, es ist eine nullfolge. und im heft
> > steht "existiert grenzwert q für diesen quotiententerm,
> > und ist er </>1 dann ist die REIHE absolut konv/div..."
> > aber heißt das jetzt
> > 1.ich muss theoretisch nicht weiterrechnen (wir müssen
> > nur aussagen ob oder ob nicht konvergent, keinen grenzwert
> > nennen!) weil ich sehe, dass die folge in diesem stadium
> > eine nullfolge ist (aber ich hab sie doch durch teilen
> > verändert!!??)
> > 2. mach ich so weiter, dass ich sage =...1/2* (1/2)=
> 1/4
> > <--- ist das jetzt noch mein "q" grenzwert für den
> > Quotienten oder ist das schon nicht mehr einwandfrei, weil
> > ich das eine 1/2 nicht durch bloßes umformen/kürzen
> > errechnet habe....?
> > bei c) frage ich mich, wie ich nach dem anwenden des
> > Wurzelkriteriums mit 1/(ln k) verfahren soll...geht
> nich
> > weiter, aber ich seh ja, dass es gegen null geht....
>
> Damit hast du's doch, du musst ja den
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}[/mm] berechnen, das
> ist [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\ln(k)}=0=q<1[/mm]
> hm, dieser lim sup, der ist bei noch nicht mal erwähnt worden...ich bon mehrmals drüber gestolpert und habe es immer noch nicht fgeschafft, mich darüber mal schlau zu machen....diese formalismen in mathe.....da versteh ich sowieso nix :-D aber er scheint ja ungemein praktisch zu sein....ist das nicht iwie sowas wie der über-limes  ?
> Damit hast du absolute Konvergenz deiner Reihe in (c) gem.
> WK
>
> > sry, ich weiss es ist verwirrt,
> > aber ich denke da glaub viel zu kompliziert: ist es im
> > endeffekt so , als prüfe ich, ob es eine nullFOLGE ist?
> > und wenn nein, warum nicht?
>
> S.o., ich hoffe, die Erklärungen bringen dich etwas weiter
> hm, also ohne lim sup aber mit 1/ln k, da was sag ich DENN? oder kann man in drei sätzen sagen was der lim sup ist, bzw, wo der unterschied ist (ich brauch immer gegenbeispiele
> ja, sie haben das ganze entwirrt...ist ja wirklich trivial (i.vgl zu meinem komplizierten gedenke immer
> > grüße angela
>
> daaaaaanke
>
> ja, stimmt, wird zeit
> schachuzipus
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Hallo,
ja, jetzt ist es richtig.
Gruß v. Angela
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