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Forum "Stetigkeit" - gleichmäßige Stetigkeit
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gleichmäßige Stetigkeit: wie komme ich an |x-y| ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Di 25.07.2006
Autor: Phabs

Aufgabe
Beweisen sie, dass die Funktion:
f: [0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] mit f(x) := [mm] (x+1)e^{-x} [/mm]
auf [0, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist, indem sie zu jedem  [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein  [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] so angeben, dass gilt:
x,y  [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) \wedge [/mm] |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| <  [mm] \varepsilon [/mm]

Hallo,
mein Problem ist jetzt eigentlich nur, wie ich das |x-y| da "rausziehen" kann. Brauch das ja unbedingt. Hab es übern Hauptnenner versucht komme aber nie zu was. Vielleicht hab ich ja auch nen Brett vorm Kopf.




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Di 25.07.2006
Autor: SirJective

Hallo.

Du gibst dir also ein (dir unbekanntes) [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor, und musst nun ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so dass für alle $x,y [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] eine bestimmte Aussage gilt. Nun gibt es erstmal drei Fälle: $x > y$, $x = y$ oder $x < y$. Wenn dir der Beweis dieser Aussage im ersten Fall gelingt, dann folgt sie auch für den dritten Fall, indem du x und y vertauschst (der Betrag der Differenzen bleibt gleich). Die Gültigkeit im zweiten Fall ist sowieso klar.

Du hast nun wegen $x > y$ also die Voraussetzung $0 < x-y < [mm] \delta$ [/mm] - ohne Betrag.

Dann überlegst du dir, dass $f$ monoton fallend ist. Wegen $x > y$ ist also $f(x) [mm] \leq [/mm] f(y)$. Du kannst also die Gleichung $f(y) - f(x) < [mm] \varepsilon$ [/mm] verwenden.

Damit sind alle Beträge verschwunden, und du kannst fröhlich abschätzen.

Gruß,
SirJective


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gleichmäßige Stetigkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:19 Mi 26.07.2006
Autor: Phabs

ok soweit kann ich folgen, ist zwar überhaupt nicht die art von epsilon-delta wie ich ihn kenn, aber das heißt ja auch nichts :)

nur gegen was will ich denn dann abschätzen und wie bring ich das delta ins spiel?
versteh das irgednwie nicht

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gleichmäßige Stetigkeit: Andere Strategie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Mi 26.07.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo,

kennt Ihr schon die Lipschitzstetigkeit? Wenn du zu deiner funktion eine lipschitz-Konstante finden kannst, ist auch die angabe eines geeigneten delta-Wertes kein Problem mehr.

und lipschitz-Konstanten kann man am einfachsten finden, indem man den betrag der ersten ableitung gegen eine konstante abschätzt.

du müsstest also die ableitung der funktion berechnen und untersuchen, ob sie auf dem betreffenden intervall beschränkt ist.


Gruß
Matthias

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gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 Mi 26.07.2006
Autor: Phabs

mh mein problem ist halt, dass es mit delta epsilon sein muss ... ist eine Klausur in der wir nicht Ableiten dürfen ... und es steht halt auch in der aufgabenstellung drin...

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gleichmäßige Stetigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Fr 28.07.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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