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glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mi 28.09.2011
Autor: eddiebingel

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle r>0 die Funktionenreihe f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}} [/mm] auf [-r,r] gleichmäßig konvergent ist.
Folgern Sie, dass f(x) auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist.

So ich verstehe zwar unsere Definition der gleichmäßigen Konvergenz nur habe ich keinen blassen Schimmer wie ich bei so einer Funktionenreihe vorgehe um sie zu untersuchen.
Ich denke dass ich iwie eine kgte Majorante finden müsste aber so genau weiss ich es auch nicht

Hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt
mfg eddie

        
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass für alle r>0 die Funktionenreihe f(x) =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}}[/mm] auf [-r,r]
> gleichmäßig konvergent ist.
>  Folgern Sie, dass f(x) auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
>  So ich verstehe zwar unsere Definition der gleichmäßigen
> Konvergenz nur habe ich keinen blassen Schimmer wie ich bei
> so einer Funktionenreihe vorgehe um sie zu untersuchen.
>  Ich denke dass ich iwie eine kgte Majorante finden müsste
> aber so genau weiss ich es auch nicht
>  
> Hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt


Für x [mm] \in [/mm] [-r,r] und n [mm] \in \IN [/mm] ist

          $0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+n^2} \le \bruch{x^4}{n^2} \le \bruch{r^4}{n^2}$ [/mm]  

Jetzt bemühe das Maj.-Kriterium von Weierstraß.

FRED

> mfg eddie


Bezug
                
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Mi 28.09.2011
Autor: eddiebingel

Also muss ich zeigen dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}} [/mm] konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)

richtig?

Bezug
                        
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden

Ja


>  Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)

Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.

FRED

>  
> richtig?


Bezug
                                
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Mi 28.09.2011
Autor: eddiebingel


> > Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> > konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
>  
> Ja
>  
>
> >  Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)

>  
> Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert
> gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.
>

ok den zweiten Teil kann ich nun mit einem Satz aus der VL zeigen

> FRED
> > richtig?

Vielen Dank

Bezug
                                        
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> > > Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> > > konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
>  >  
> > Ja
>  >  
> >
> > >  Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)

>  >  
> > Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert
> > gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.
>  >

> ok den zweiten Teil kann ich nun mit einem Satz aus der VL
> zeigen

Mach mal vor.

FRED

>  
> > FRED
>  > > richtig?

>
> Vielen Dank


Bezug
                                                
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Do 29.09.2011
Autor: eddiebingel

Ok ich habe so angefagen

zu zeigen: Grenzfunktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig

Sei [mm] x\in \IR [/mm] beliebig fest und wähle [mm] r\in \IR [/mm] mit [mm] x\in [/mm] [-r,r]

Grenzfunktion auf [-r,r] definiert da die Reihe auf [-r,r] glm. konvergiert

Da für alle n: [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}} [/mm] stetig auf [-r,r] ist
folgt dass die Grenzfunktion auf [-r,r] stetig ist, insbesondere auch im Punkt x

Da x beliebig folgt Grenzfkt. in jedem Pkt [mm] x\in \IR [/mm] stetig


kann man das so machen ?

Bezug
                                                        
Bezug
glm. Konvergenz von Fkt.reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Do 29.09.2011
Autor: fred97


> Ok ich habe so angefagen
>  
> zu zeigen: Grenzfunktion ist auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig
>  
> Sei [mm]x\in \IR[/mm] beliebig fest und wähle [mm]r\in \IR[/mm] mit [mm]x\in[/mm]
> [-r,r]
>  
> Grenzfunktion auf [-r,r] definiert da die Reihe auf [-r,r]
> glm. konvergiert
>  
> Da für alle n: [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}}[/mm] stetig auf
> [-r,r] ist
>  folgt dass die Grenzfunktion auf [-r,r] stetig ist,
> insbesondere auch im Punkt x
>  
> Da x beliebig folgt Grenzfkt. in jedem Pkt [mm]x\in \IR[/mm] stetig
>  
>
> kann man das so machen ?

ja

fred


Bezug
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