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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Di 23.09.2008
Autor: owner2k4

hi,

wie berechne ich den grenzwert von

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^{2n+1} [/mm]


die lösung ist  [mm] e^{-2} [/mm]

kann man das ohne l'hospital berechnen? ich habs damit versucht aber das führt zu nix.

danke

        
Bezug
grenzwert: umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Di 23.09.2008
Autor: Loddar

Hallo owner!


Formen wir mal etwas um, um auf einen bekannten Grenzwert zurückgreifen zu können ...

[mm] $$\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1-1}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+1}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+2-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{2n+2}*\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^2*\left(1+\bruch{-1}{n+1}\right)^{-1}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 23.09.2008
Autor: owner2k4

danke erstmal für die umformung, ich kann jedoch auch mit dem "bekannteren grenzwert" nicht viel anfangen.

ich hät jetzt einfach aus

(1 + [mm] \bruch{-1}{n+1}) [/mm]

das

(1+0)

gemacht, da im zähler eine konstante steht und um nenner das n, welches gegen unendlich läuft. das würde dann aufn grenzwert von 1 hinauslaufen.. was also falsch ist. wie geht es richtig weiter ?

Bezug
                        
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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Di 23.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo owner2k4,

> danke erstmal für die umformung, ich kann jedoch auch mit
> dem "bekannteren grenzwert" nicht viel anfangen.
>  
> ich hät jetzt einfach aus
>  
> (1 + [mm]\bruch{-1}{n+1})[/mm]
>  
> das
>  
> (1+0) [ok]

das stimmte, falls dort im ersten Term [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)$ [/mm] stünde, tatsächlich steht dort aber [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\red{n+1}}$ [/mm] !!

(und das eigentlich noch zum Quadrat, betrachte es aber ohne Quadrat, der Rest folgt mit den Grenuwertsätzen ...)

Ihr hattet bestimmt in der VL, dass [mm] $\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m [/mm] \ = \ e \ [mm] \left(=e^1\right)$ [/mm]

Bzw. damit allgemeiner [mm] $\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\frac{a}{m}\right)^m [/mm] \ = \ [mm] e^{a}$ [/mm]

>  
> gemacht, da im zähler eine konstante steht und um nenner
> das n, welches gegen unendlich läuft. das würde dann aufn
> grenzwert von 1 hinauslaufen..

das stimmt nur für den zweiten Term [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{-1}$ [/mm]

der strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $1^{-1}=1$ [/mm]

> was also falsch ist. wie geht es richtig weiter ?

Passe die obige Formel für [mm] $e^{a}$ [/mm] etwas an deinen Fall an ($m:=n+1$) ...


LG

schachuzipus

Bezug
                                
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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Di 23.09.2008
Autor: owner2k4

hat super geklappt mit der formel danke.

für 2 aufgaben bräucht ich aber noch einen denkanstoß:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^{2} + 5n +2}-2n [/mm]
ich habs mit quadratischer ergänzung mit dem was in der wurzel steht versucht. ohne erfolg :)


[mm] \limes_{x\rightarrow\00}\bruch{1-cosx}{x^{2}} [/mm]
da x gegen 0 laeuft, laeuft cosx gegen 1. dh ich hab im zaehler und im nenner eine unendlich kleine zahl. was ist aber nun der grenzwert ? gibt es ueberhaupt einen ?



Bezug
                                        
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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:47 Di 23.09.2008
Autor: XPatrickX

Hey

> hat super geklappt mit der formel danke.
>  
> für 2 aufgaben bräucht ich aber noch einen denkanstoß:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{4n^{2} + 5n +2}-2n[/mm]
>  ich
> habs mit quadratischer ergänzung mit dem was in der wurzel
> steht versucht. ohne erfolg :)

Versuche mal mit [mm] \wurzel{4n^{2} + 5n +2}\red{+}2n [/mm] zu erweitern.

>  
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\00}\bruch{1-cosx}{x^{2}}[/mm]
>  da x gegen 0 laeuft, laeuft cosx gegen 1. dh ich hab im
> zaehler und im nenner eine unendlich kleine zahl. was ist
> aber nun der grenzwert ? gibt es ueberhaupt einen ?
>  

Also hast du den Typ [mm] \frac{0}{0} [/mm] und kannst die Regel von l'Hospital anwenden.

Grüße Patrick  


Bezug
                                                
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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 Mi 24.09.2008
Autor: owner2k4

zur 1. aufgabe
wenn ich damit erweiter.. hab ich 3.binomische formel.. und komme dann schlussendlich auf 5n+2.. kein grenzwert .. ist das richtig ?

zur 2 aufgabe
ich depp :)

Bezug
                                                        
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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Mi 24.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> zur 1. aufgabe
>  wenn ich damit erweiter.. hab ich 3.binomische formel..
> und komme dann schlussendlich auf 5n+2.. kein grenzwert ..

Nein, was ist denn mit dem Nenner, der bei der Multiplikation mit [mm] $\frac{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n}$ [/mm] entsteht?

Du kannst dort unter der Wurzel [mm] 4n^2 [/mm] auklammern, es "rausziehen" (mit Schmackes ;-)) und dann insgesamt im Nenner nochmal n ausklammern ...

Im Zähler ebenfalls n ausklammer und dann ...

> ist das richtig ?
>  
> zur 2 aufgabe
>  ich depp :)

Alternativ und (wie ich finde ganz schön) kannst du auch - falls ihr das schon hattet - für den [mm] \cos [/mm] die Potenzreihe bzw. die Taylorreihe schreiben ...

LG

schachuzipus


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grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:40 Mi 24.09.2008
Autor: owner2k4

ziemlich tricky die ganze geschichte :)

grenzwert ist [mm] \bruch{5}{4} [/mm] und stimmt mit der lösung überein

danke euch und gute nacht !

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